Adams fue la primera persona que conocí que efectivamente tenía teorías acerca de como debía ser jugado el ajedrez». La tesis de Berliner, al igual que la de Adams, ha sido duramente criticada. en todo aspecto relacionado con el ajedrez. Como se explica más abajo, los teóricos del ajedrez en décadas recientes han continuado el debate acerca del tamaño y la naturaleza de la ventaja de salida, si es que en efecto existe.

Exceptuando a Berliner, han rechazado la idea de que las blancas tienen una victoria forzada a partir de la posición inicial. Muchos también rechazan el tradicional paradigma de que el objetivo de las negras debe ser neutralizar la iniciativa de las blancas y obtener la igualdad.

En , el Gran Maestro Larry Kaufman expresó una opinión más matizada que las de Adams y Berliner, alegando que la iniciativa de la primera jugada siempre puede transformarse en algún tipo de ventaja duradera, aunque no necesariamente decisiva.

Kaufman escribe: «no creo que las blancas tengan una victoria forzada en el ajedrez. Creo sin embargo que ya sea con 1. d4, el blanco debería ser capaz de obtener algún tipo de ventaja que persista hasta el final. Si el ajedrez se juzgara como el boxeo , con las partidas empatadas asignadas por algún sistema de puntos al jugador que quedó 'más cerca' de ganar, entonces creo que las blancas tendrían en efecto un victoria forzada en teoría».

Empezando en , Adorján ha argumentado en una serie de libros y artículos que «¡Las negras están bien! Escribe: «en mi opinión, la única ventaja obvia de las blancas es que si juegan para tablas, y lo hacen bien, las negras difícilmente pueden evitarlo sin tomar obvios riesgos».

ya que ha sacudido nuestra suposición de que las blancas empiezan la partida con alguna ventaja, y revela su naturaleza ideológica". En uno de los libros de Adorján, el GM Lajos Portisch opina que: «al menos dos tercios de todas las aperturas 'regulares' dan a las blancas una aparente ventaja».

Según Portisch, para las negras «la raíz del problema es que muy poca gente conoce cuales son las aperturas en que las negras quedan bien. Aquellos que encuentran esas líneas no tienen nada que temer, ya que: las negras, en efecto, están bien , ¡pero solo en esas variantes! d4 tienen problemas para conseguir cualquier cosa contra las principales líneas de las eslavas y los jugadores que emplean 1.

e4 encuentran las sicilianas Najdorf y la Sveshnikov particularmente duras». Los autores modernos frecuentemente piensan del papel de las negras términos más dinámicos que meramente tratar de igualar. Rowson escribe que «la idea de las negras tratando de 'igualar' es cuestionable. Creo que tiene una aplicación limitada en algunas aperturas, antes que ser una receta para las aperturas en general».

La revelación de que las negras tienen oportunidades dinámicas y que no necesitan satisfacerse con la mera igualdad fue el momento decisivo de su carrera, dijo».

A veces decimos 'dinámicamente equilibrado' en lugar de 'igual' para expresar el punto de vista de que cualquiera de los jugadores puede salir de las complicaciones con la ventaja. Este estilo de apertura se ha vuelto prevalente en el ajedrez moderno, con campeones mundiales como Fischer y Kasparov como sus más visibles practicantes».

Autores modernos también cuestionan la idea de que las blancas tienen una ventaja duradera. Sostiene que a veces el jugador con la iniciativa la pierde sin una explicación lógica y que «a veces la debes perder, sencillamente.

Si tratas de aferrarte a ella, forzando el asunto, tu potencial dinámico se extinguirá y no tendrás la capacidad de enfrentar un vigoroso contraataque ». Según Rowson, la principal ventaja del blanco es que: «la ventaja del primer movimiento tiene algunas similitudes con el saque en el tenis.

Primero en que las blancas pueden conseguir un punto directo por ejemplo con una poderosa novedad en la apertura , tienen más control sobre el ritmo y la dirección del juego, y como en el tenis tienen un segundo saque ya que cuando las cosas van mal su posición generalmente no llega a ser perdedora».

Segundo, las blancas comienzan con alguna iniciativa, aunque Rowson considera a esta una ventaja más psicológica que posicional, «y si es que llega a ser una ventaja posicional depende de la fuerza relativa de los jugadores».

Cuarto, «si las blancas quieren empatar, no siempre es fácil para las negras evitarlo. Esta ventaja es particularmente águda en casos donde hay una posible triple repetición , ya que el blanco puede comenzar la repetición sin comprometerse a empatar y las negras tienen que decidir si cambian la jugada antes de saber si las blancas están haciendo un farol».

Rowson cita como ejemplo de este último fenómeno la bien considerada variante Zaitsev de la apertura Apertura española. Después de 1. e4 e5 2. Cf3 Cc6 3. Ab5 a6 4. Aa4 Cf6 5. Te1 b5 7. Ab3 8. c3 d6 9. h3 Ab7 d4 te8 inicio de la variante Zaitsev , las blancas pueden repetir jugadas una vez con Cg5 Tf8 esto pone al negro en una situación difícil ya que escoger entre a insistir en la Zaitsev con 12[ Cf3, o b jugar una movida diferente y posiblemente inferior cambiando de Rowson alega que las negras también tienen varias ventajas.

Primero: «La supuesta ventaja del blanco es también un tipo de obligación de jugar para ganar y las negras pueden usar esto frecuentemente para sacar ventaja». Segundo: «La movida extra del blanco puede ser una carga y a veces las blancas se encuentran en una ligera forma de zugzwang ».

Tercero, aunque las blancas inician la partida con la iniciativa si las «negras retienen una posición flexible con buenas posibilidades de reacción esta iniciativa puede ser absorbida y frecuentemente se traslada a las negras».

Cuarto: «El hecho de que el blanco mueve antes frecuentemente le da al negro información útil». Suba escribe: «en términos de la teoría matemática de los juegos , el ajedrez es un juego de información completa y ¡la información de las negras siempre es mayor por una movida!

Rowson también señala que las oportunidades de las negras aumentan significativamente jugando buenas aperturas , que tienden a ser aquellas con flexibilidad y potencial latente, «antes que aquellas que le dan a las blancas objetivos fijos o que tratan de ganar la iniciativa prematuramente».

También enfatiza que «el blanco tiene 'la iniciativa', no 'la ventaja'. El éxito con las negras depende en ver más allá de la iniciativa y pensar en las posiciones en términos de 'potencial'».

Se llega a una posición típica luego de 1. c4 c5 2. Cf3 Cf6 3. g3 b6 4. Ag2 Ab7 5. Cc3 Ae7 7. d4 cxd4 8. Dxd4 d6 9. e4 a6. Cf3 Cf6 2. c4 c5 3. Cc3 e6 4. g3 b6 5.

Ag2 Ab7 6. O-O Ae7 7. Td1 a6 b3 Cbd7 e4 Db8 Ab2 O-O Suba escribe de una posición erizo similar: «La posición de las blancas luce ideal. Es la pura verdad, pero lo 'ideal' tiene por definición un inconveniente —no se puede mejorar». Cd2 Td8 a4 Dc7 De3 Tac8 De2 Ce5 Según Ftáčnik, f4 Ceg4 Tf1 es mejor.

f4 Cg6 Cf3 Ahora las negras abren la posición a la manera típica del esquema erizo. Ftáčnik considera e5 o exd5 preferible. Cxh4 Cxh4 gxh4 Dxf4 dxe6 fxe6 Ftáčnik recomienda Txd8 Txd8 Rh1 Ch5! Dxh5 Dg3 Cd5 Otras movidas provocan jaque mate inmediato: Axb7 Dh3 ; De2 Dxh3 ; Dg4 Axg2.

Txd5 Él creía, tal como lo han hecho otros jugadores y teóricos, que la ventaja del primer movimiento de las blancas, debidamente explotada, debería resultar virtualmente en una victoria forzada.

Esta idea pude no ser tan exagerada como parece. De las 19 partidas que jugué contra Fischer, sólo perdí una con blancas, desaprovechando una victoria forzada, y siete con negras. Contenidos mover a la barra lateral ocultar. Artículo Discusión. Leer Editar Ver historial. Herramientas Herramientas.

Lo que enlaza aquí Cambios en enlazadas Subir archivo Páginas especiales Enlace permanente Información de la página Citar esta página Obtener URL acortado Descargar código QR Elemento de Wikidata.

Crear un libro Descargar como PDF Versión para imprimir. Wilhelm Steinitz, quien en afirmó que el ajedrez es tablas con el mejor juego. Porcentajes ganadores [ editar ] Blancas ganan Tablas Negras ganan Total con Blancas Torneos — com base de datos Posición final de Vallejo Pons-Kasparov: ¿la partida perfecta?

e4 «las blancas deberían ganar», según Adams. Berliner afirma que tras 1. d4 las blancas tendrían una ventaja ganadora. Posición después de Cf3: las negras deben continuar ya sea con la variante Zaitsev Te8 , permitiendo las tablas inmediatas al blanco, o escoger una variante diferente.

Polugaevsky — Ftáčnik , posición después de Polugaevsky — Ftáčnik, posición después de F May Chess Review : También disponible en DVD página de "Chess Review " archivo PDF en el DVD. Estas incluyeron partidas de siete torneos empezando con Londres y terminando con París , de las cuales las blancas ganaron , empataron y perdieron ; 3.

y Paul van der Sterren New in Chess Yearbook Interchess BV. ISBN Texto «van der Sterren, P. Archivado desde el original el 16 de abril de Consultado el 28 de junio de Las estadísticas de New in Chess dan el número de partidas jugadas y el porcentaje ganador global de las blancas sin especificar las victorias, empates y derrotas.

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David McKay. Una variante popular es que las negras deben primero asegurarse la igualdad y sólo después buscar oportunidades de lograr ventaja Particularmente libros de la primera mitad del siglo XX remarcaron la necesidad de igualar antes que ninguna otra cosa». Watson , p.

Modern Chess Opening Theory. Pergamon Press. ISBN X. Adorján llamó «hipócrita» a Sveshnikov por hacer esa afirmación p. The Art of Chess-Play: A New Treatise on the Game of Chess. En páginas previas de su libro, Walker escribía: "Aquel que hace la primera movida tiene al menos la ventaja de que puede, en alguna medida, escoger su propio plan de ataque, mientras que el segundo jugador es generalmente forzado, en las que se llaman Aperturas Regulares , a actuar a la defensiva en las primeras jugadas; después de lo cual la ventaja del primer movimiento desaparece.

My Great Predecessors , Part I. Everyman Publishers. Kasparov cita brevemente del largo tributo a Steinitz hecho por Emanuel Lasker , que aparece en Lasker , pp. Masters of the Chessboard. Dover Publications. The Modern Chess Instructor. Edition Olms AG. Common Sense in Chess.

se quejaba de que pronto, cuando todos los maestros más eminentes hubieran absorbido los principios de la técnica moderna, uno ya no podría esperar ganar una partida ante ellos; ¡el ajedrez habrá sido resuelto!

A History of Chess. The Abbey Library. Incluso si se puede demostrar que existe una eventaja de salida para las blancas, sigue siendo de una naturaleza tan intangible que si no hay errores posteriores no puede ganar. Great Moments in Modern Chess. Por "punto de vista hiperteórico", Rowson se refiere al punto de vista de un observador omnisciente, uno con una comprensión perfecta del ajedrez.

consciente de que su posición es tan fuerte que 15 lüc3 no debería conformarse con una modesta ven­ taja, sino jugar por algo más.

Mediante la aper­ tura de líneas en el centro se crean nuevas vías para atacar al rey enemigo y, además, al amena­ N zar 14 dxe6, de nuevo no permite que su rival desarrolle su alfil-f8. El hecho de que esta juga­ da cueste a las blancas un segundo peón no tie­ ne especial relevancia.

Jálifman tiene ahora dos peones de menos, pero ha acrecentado su ventaja de desarrollo. Tiene todas sus piezas en juego mientras que a su rival aún le hacen falta dos movimientos para enrocar corto.

Además ha abierto varias líneas: la colurnna-b y la diagonal a4-e8 ya están abier­ tas y si el peón-d5 cae se abrirá también la co­ lurnna-d. Estas vías dan a las piezas blancas 13 bxa4 buenas posibilidades de lanzarse sobre el de­ Las blancas ganan tras 1 3. exd5 1 4 lüc3!

d4 samparado rey negro, que se encuentra retenido 1 5 a5! xb7 l:. c6; por ejemplo, clavada a la que está sometida su caballo-d7. PARTIDA 2: A. f4 l:. cS No hay defensa. tc6 1 6 lllxd5! dS d6 2 1 lllxb6 axb6 l S. txaS otorga a las blancas una. xdS 'ifxdS 22 i. gran ventaja material y de desarrollo, y txdS a xd5 16 i.

xd5 Este alfil no tiene rival en las casillas blan- Wxa4 17 l:. xd5 l S lllxd5. d6 19 :ta6! bS 20 l:. d l deja a las negras completamente d8 atadas Svéshnikov sostiene su caballo clavado, pero Quizá 1 5. jugada del texto. En ese caso las blancas ganan tf4 golpeando en las líneas abiertas de forma temá- tica: 1 6 lllxd5!

xc7 lS. xb7 y ahora, tras l S. l:lbS 19 i. xc5 de nuevo se impide el enro­ que a las negras 1 7. txd5 'ii'xd5 l S l:. fd l 'ii'e6 1 9 l:. todas las líneas abiertas intervienen en esta combinación: la columna-d, la colum­ na-e y varias diagonales xc5 y - ¿lo diré otra vez?

xa7 'ifxaS txdS txc5 l:. eS 25 l:. aS seguido de. b6 23 l:. dS 24 i. xc5 , seguido de i. b6, y las blancas ganan el final de peones tras cambiar todas las piezas en dS en finales de re­ yes y peones con todos los peones en el mismo 18 'iff6 flanco, un peón de ventaja suele ser suficiente Después de 1 S.

para ganar si es un 2 contra 1 , y casi siempre y cae f7 , y si l S. e7, sigue 1 9 i. c6 'ii'b4 20 gana en casos de 3 contra 2 ó 4 contra 3.

clavada que pende sobre su caballo 1 9 l:. tb l No la automática 16 l:. g5 f6 xb6 axb6 l S 'ii'd l l:. xal 1 9 'ii'x al. xa7 es gana­ vuelve las tomas.

dor para las blancas b7 'ifxb7 2 1. d2, seguido de. ta5 , es penoso 22 i. e7 24 l:. xa7 24 l:. Jálifman despeja el camino para que su torre-al penetre en a6 ó a7.

td6 Finalmente el alfil mueve, sólo para ser fatal­ mente clavado de inmediato. Pero 1 9. e7 20 l:. xa7 'ii'b 6 2 1 'ii'xb6 lllxb6 22 i.

c7 supondría serias pérdidas materiales, y txdS 1 9. xa7 i. e7 22 'ii'bs También ganarían las blancas tras 1 6.

txg2 ble. Esta segunda clavada decide la partida de in­ 25 'it'd5 mediato. Clavándolo de nuevo. Ahora se amenaza 26 20 l:tb8. llc 6. Ni mejor ni peor que cualquier otra jugada. Una victoria muy dinámica por parte de Jálifman.

Tras ofrecer un peón mantuvo su presión sobre Svéshnikov con una lluvia cons­ tante de amenazas. Cuando las negras declina­ ron la última oportunidad de poner su rey en seguridad ya en el décimo movimiento se ha­ llaron de inmediato en serias dificultades.

Já­ lifman se dio cuenta de la importancia de abrir líneas y se dispuso a ofrecer más material para reforzar su ataque. En los últimos compases de la partida, a los problemas de las negras se sumó una seria debilidad en las casillas blan­ cas.

Las blancas mantienen ambas clavadas. xf6 gxf6 de las partidas. que pesa sobre su caballo. Amenazando 25 �c8. Dom i n io eficaz del centro El tercer objetivo principal de la apertura es obtener control sobre el centro.

El centro del tablero es particularmente importante por dos razones. Para empezar, la mayoría de las piezas despliegan una mayor actividad en el centro; esto es especialmente aplicable a los caballos, pero afecta a todas las piezas, excepto a la torre en mayor o menor grado. Por ello, si obtenemos el control del centro, au­ tomáticamente nuestras piezas serán más efectivas que las del rival.

La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey, tendrán poca influencia en el ala de dama. Esto no supondría un problema si estamos conduciendo un ata­ que en el flanco de rey contra el monarca enemigo, por ejemplo, ya que la acción se desarrolla en ese sector y ahí es donde queremos que estén nuestras piezas.

Sin embargo, si aún no está claro dónde serán necesarias nuestras piezas puede comprometer mucho nuestra posición enviarlas al flanco de rey: el rival podría hacer que no fueran efectivas, por ejemplo enrocando largo, y podría resultar que nuestras piezas estuvieran mejor colocadas en cualquier ot, ra parte.

Si están cerca del centro pueden ser trasladadas fácilmente a un flanco u otro en poco tiempo. Esto nos da más flexi­ bilidad a la hora de decidir dónde atacar, y hace que sea más fácil oponernos a los planes del rival, independientemente de en qué sector actúe.

PARTIDA 3: K. ASÉIEV - N. No obstante, no es fácil definir en qué consiste el control del centro: es algo que se reconoce al verlo, más que al aplicar una fórmula. Puede consistir en ocupar el centro con peones como en la siguiente partida , pero ya hemos visto anteriormente en la partida 1 que esto no es necesario.

En aquella partida las blancas controlaban el centro a distancia con sus piezas, pero el resultado fue igualmente efectivo. Por regla general, esté o no el centro ocupado por peones, la acción de las pie­ zas es el factor crítico.

Un centro de peones sin un apoyo de piezas adecuado probablemente se de­ rrumbe ver partida 4. Por ello el principio general es que las piezas deben desarrollarse de forma que puedan ejercer la máxima influencia posible sobre el centro. Pa rtida 3 K. Aséiev N. Rash kovski -. Campeona to de Rusia, San Petersburgo Defensa Moderna , Ataque Austríaco.

Las blancas liberan a su disputar el centro blanco en absoluto. dama y a su alfil, y a la vez colocan un peón en 2 d4 el centro. Formando el centro de peones ideal pero. En sus comentarios a la partida Edward Las­ 2 i..

g7 ker-Capablanca, Nueva York 1 , Alekhine Presionando ligeramente d4. En la mayoría escribió sobre 1. g6: "Desde el punto de vista de los casos las negras buscarán incrementar actual de la teoría, esta jugada no puede consi­ esta presión jugando por las casillas oscuras.

derarse completamente válida, ya que las ne­ 3 lllc3 gras se comprometen a un esquema concreto Las blancas deben escoger entre ocupar el sin poder ejercer ninguna influencia sobre el cuadro c3 con su peón-e o con su caballo.

Jugar juego central de su adversario". Sin embargo, 3 c3 refuerza la casilla-d4 y reduce la actividad esto no impidió a Capablanca ganar la partida, del alfil-g7, pero quita al caballo-bl su casilla y en estos tiempos l.

g6 denominada "Defen­ más activa; por ello la mayoría de los jugadores sa Moderna" está considerada como una aper­ prefieren la jugada del texto, que es más natu­ tura perfectamente aceptable.

Al jugar l. g6 ral. las negras no pierden, como Alekhine suponía, 3 d6 la posibilidad de jugar en el centro; más bien la De nuevo una jugada por las casillas negras. retrasan hasta que las blancas se hayan compro­ Ésta es una buena preparación para un eventual metido en el centro.

Normalmente la reacción. negra implica. e5, aunque hay algunas 4 f4 variantes en las que las negras juegan. Éste es el sistema más agresivo para las blan­ Es preciso realizar una pequeña advertencia cas contra la Defensa Moderna: formar un gran acerca de la Defensa Moderna. En muchas aper­ centro de peones, desarrollando las piezas tras turas clásicas, como la Francesa l e4 e6 2 d4 él mediante lll f3, i..

Si las d5 , la estrategia central de las negras va ligada blancas consiguen completar su desarrollo sin a su elección de apertura, mientras que en la que su centro sea atacado, las negras se hallarán Defensa Moderna las negras tienen más liber­ en dificultades; por ello, es esencial para las ne­ tad de elección.

Con esta libertad adicional apa­ gras actuar con rapidez. Existen varias alterna­ rece la responsabilidad extra de asegurar que la tivas a la jugada del texto. Si las con i.. Las blancas también pueden negras se retrasan demasiado y permiten a las adoptar otros sistemas intermedios como 4 i..

g5, que pueden tratarse de forma posicio­ 6. id3 nal o agresiva, dependiendo de la reacción ne­ Ésta es la mejor casilla para el alfil, ya que e4 gra.

necesitará apoyo cuando las negras jueguen. ib7 , especialmente si tenemos en cuenta que el caballo-c3 puede ser expulsado median­ te. ib7 La intención de las negras es arañar el centro blanco con. ll:id7 y. c5, alcanzando quizá más adelante una posición similar a la de una Siciliana tras el cambio.

cxd4 o dxc5 de blan­ cas. Este avance de peón tiene varias virtudes: 1 Impide a las negras desarrollar su caba­ llo-g8 por la casilla natural de f6. pero esto le lleva tres movimientos y da a las 3 Permite un futuro sacrificio de peón en blancas tiempos para sostener su centro.

Es e6. cierto que las negras ganan algo de espacio en Las blancas deben tener cuidado de no pa­ el flanco de dama, pero esto no es compensa­ sarse, pero en vista del juego lento de su rival no ción suficiente por el tiempo perdido.

En par­ parece que haya peligro. tidas de club los jugadores suelen salir bien pa­ Jugadores de talante más posicional preferi­ rados con planes excéntricos de este tipo por­ rían una segunda línea, igualmente prometedo­ que sus rivales no tratan de sacar ventaja de ra: 7 ll:id7 8 ll:ie2.

La idea es responder a ellos, o no saben cómo explotar sus debilida­. c5 con c3, manteniendo intacto el centro de des. En esta partida Aséiev reacciona correc­ peones. Tras 8. c5 9 c3 ll:igf6 10 ll:ig3, por tamente: completa su desarrollo lo más rápida­ ejemplo, las negras aún no habrán realizado mente posible, poniendo al mismo tiempo el ningún avance real contra el dominio central de máximo de obstáculos al desarrollo negro.

Este su oponente, mientras que las piezas blancas se desliz no es suficiente para que las negras pier­ están reagrupando peligrosamente para un pos­ dan, pero a partir de aquí tendrán que andar con terior ataque al enroque.

mucho cuidado, especialmente si tenemos en cuenta que les hacen falta dos movimientos para enrocar. Las negras disponen de varias alternativas aceptables: 4. ll:if6 traspondría a una apertura similar denominada Defensa Pire 1 e4 d6 2 d4 ll:if6 3 ll:ic3 g6 4 f4 i.

g7 sería el orden de juga­ das de la Pire. Si quieren jugar una Defensa Moderna pura, pueden intentar 4. ll:ic6 ó 4. Todas estas jugadas apuntan al centro, pero 4. a6 no. A Rashkovski le preocupa un posible e6 de 10 las blancas y gasta un movimiento en impedir­ Ambos reyes se enrocan, pero eso es lo único lo, pero esto sencillamente es demasiado lento.

que tienen en común. El blanco está realmente Debió haber continuado con su plan mediante seguro en g 1 , pero el negro aún se encuentra ex­ 7. lt: d7. La línea crítica sigue 8 c5 9 i.

e4 9 puesto en el flanco de rey. La razón es que las exd6 cxd4 no está claro 9. xe4 10 lt: xe4 negras sólo tienen dos piezas menores en ese cxd4 1 1 e6 1 1 exd6 'ii'b6 ofrece contrajuego a sector, mientras las blancas ya tienen allí un al­ las negras l l.

fxe6 1 2 lt: eg5 lt: f8 no se puede fil y dos caballos preparados para actuar. En permitir que el caballo llegue a e6, y 1 2. lt: cS cuanto la dama se les una, los defensores ne­ no es posible por 1 3 b4 1 3 lt: xd4, llegándose a gros tendrán una dura tarea.

una posición complicada en la que las negras 11 'ii'e l tienen un peón de más, pero la disposición de Aséiev aprovecha oportunamente el tiempo sus piezas en el ala de rey es casi cómica.

Yo es­ que tiene reservado. cogería las blancas porque no están claras las 11 a5 perspectivas del caballo de f8, pero es cierto que la posición negra es relativamente sólida.

Un movimiento muy instructivo y muy fuer­ te. Evidentemente, las blancas tienen todos los Una buena jugada. En esencia el plan de las elementos necesarios para un ataque peligroso blancas consiste en atacar por el flanco de rey en el flanco de rey, pero aún les falta bastante mediante , lt: e4 y 'ii'e l -h4.

Sin embargo, pri­ para forzar el mate, así que no pueden permitir­ mero se induce a las negras a avanzar su peón a se ignorar el resto del tablero.

Saltar al ataque b4. Así, un posterior 'ii'e l ganará un tiempo, al inmediatamente con 1 2 'ii'h4 sería contraprodu­ atacar el peón-b4. Aunque puede parecer in­ cente. La respuesta sería 1 2. lt: fS y las blancas significante, detalles de este tipo son muy im­ tendrían que retirarse con 1 3 'ii'h 3 si quisieran portantes.

El tiempo que ganan las blancas ace­ continuar con su ataque. Pero la dama está fue­ lera su ataque, y no tiene ninguna desventaja: ra de juego en h3 y es mucho mejor dejarla don­ un tiempo extra a cambio de nada.

de está ahora, hasta que el juego en el flanco de 8 b4 rey ofrezca algo más tangible. Más o menos forzado. No es posible 8.

c6 La jugada del texto coloca a las negras en porque después de 9 lt: e4 el caballo llegaría a una situación incómoda. Por un lado, las blan­ d6; por otro lado, 8.

bxa4 destrozaría los peo­ cas estabilizan su centro y lo protegen contra un nes negros del flanco de dama y metería en jue­ posible ataque mediante un eventual. c5 por go a la torre-al. ejemplo, las negras podrían jugar. xe4 se­ 9 lt: e4 lt: e7 guido de.

lt: d7 y. Por otro, se ame­ Prudentemente, las negras aprovechan su naza ganar de inmediato un peón con 1 3 cxb4, oportunidad de alejar a su rey del centro. ninguna defensa natural. bxc3, 1 3 bxc3 trasladar alguna de sus piezas del flanco de abre el camino para un posterior. Esto dama a la defensa.

obligaría a las negras a mover su peón-d6, con 14 h6 lo que aumentaría la influencia del alfil-a3 y se dxe5 1 5 fxe5 no hace ningún bien y sólo despejaría la casilla-c5 para el caballo blanco serviría para que el alfil-e l colaborara en el ata­ de e4.

Estas ventajas darían a las blancas una que. Por ello, las negras tratan de expulsar el ca­ partida virtualmente ganada en el ala de dama, ballo. y no habría ningún ataque en el de rey.

sible continuación sería 1 3. txe4 xe4 d5 id3 c5 ia3 tlld7 b5 cxd4 1 8 cxd4, con presión abrumadora en el flanco de dama.

Las negras podrían jugar tllb c6 pero, ahora que d4 está seguro, el ataque blanco podría con­ tinuar con 1 3 tllfg5, de forma similar a la parti­ da. ia6 Rashkovski juega a simplificar, que es el tí­ pico método para reducir la fuerza de un ata­ que.

Aunque consigue eliminar los alfiles, las negras quedan con un caballo fuera de juego en a6, que tendrá poca influencia en el resto de la partida.

txa6 tllxa6 Las negras preferirían jugar 1 3. Jha6, pero A veces es posible conducir un ataque que no pueden porque deben defender b4. Nótese exija pocos cálculos, pero esto no es habitual cómo la maniobra de distracción blanca en el contra una determinada oposición.

Con más flanco de dama con c3 ha forzado a su oponente frecuencia surge un momento crítico en el que a hacer más concesiones posicionales, lo que a se requiere un preciso análisis para que el ata­ su vez mejora las perspectivas de ataque blancas.

que tenga éxito. Ese momento ha llegado, y 14 tllfg5 Aséiev demuestra que está a la altura. La conti­ nuación crítica es txf6 16 exf6 y ahora: l tllc 8 1 7 tllxe6 fxe6 1 8 'ii'e4 gana por la doble amenaza sobre g6 y a8. tlld5 17 tllxe6!

tllf5 1 hxg5 17 fxg5 tllf5 18 g4 traspone 17 g4 hxg5 tras 1 e8 1 9 gxf5 exf5 20 'ii'h4 l:. if4, seguido de l:tf3-h3, ganando. tllc6 1 7 tlle4! la continua­ Las cosas empiezan a tener mala pinta para ción más enérgica, abriendo el flanco de rey y al las negras.

Aséiev dispone de diversas amena­ mismo tiempo activando el alfil-e l 1 8. dxe4 zas; una de las más simples es 1 5 g4, mante­ 1 8. exf5 19 'it'h4 dxe4 ixh6, seguido de niendo al caballo negro alejado de f5, y después.

ig7, y mate 1 9 fxg6 fxg6 1 9. Debido al dominio central 'ii'd6 21 'ii'g4, seguido de. es la variante más instructiva. El material está 19 fxe6 igualado, pero las negras están condenadas por 20 'ii'f2!

sus debilidades posicionales en el ala de dama, Amenazando mate en dos mediante 21 en especial el caballo descolocado en a6. l:tf8 l:tf8 permitiría 2 1. Los caballos blancos muestran una hermosa Aséiev sigue teniendo una posición ganado­ estampa.

Para evitar la pérdida de la calidad las ra incluso después de esta jugada, pero al blo­ negras deben entregar su importante alfil defen- quear la columna-f se dificulta la victoria. Es sor. una pena que se le escapara la siguiente secuen­ tras este caballo siga ahí las negras no tienen es­ La textual amenaza 22 exd6 cxd6 xd6, peranzas de defender su flanco de rey.

seguido de. l:td8 pierde ante 22 'ii'e2 tar que su oponente traslade sus fuerzas de re­ ¡ de nuevo el caballo-a6! tllb 8 23 exd6 serva al ataque, mediante f5. Tras 1 7. tllg 8 1 8 cxd6 exf5 g5 'ii'c 8 21 l:tf3 l:td8 2 l. h5 torre. Una idea temática. Las blancas no pueden 18 f5! hacer progresos inmediatos en el ala de rey, así El golpe temático, amenazando forzar el mate que pretenden crear preocupaciones a las ne­ mediante 1 9.

Ahora las negras vo que aparece más adelante en la partida. han de tener en cuenta la posibilidad de que las 18 l:th8 blancas abran la columna-e mediante cxb4 o 1 8. tll xf5 19 l:txf5 exf5 Jugadas preparatorias como ésta no son ma­ así que las negras defienden h6.

las, ya que las negras no pueden mejorar su po- 19 fxe6 sición. Ahora que la torre negra se ha visto forzada a 22 c5 abandonar la columna-f es cuando a las blancas Las negras deciden que no pueden quedarse les interesa abrirla.

más tiempo pasivas, y reaccionan pataleando. bxc3 23 lhc3 sería malo para ellas porque ll:lxe5 28 ti'g3 dejaría a las negras inde­ esta torre se trasladaría al ala de rey, con lo que fensas; por ejemplo, ll:lbc6 29 ll:ld7 ll:lxd7 la única alternativa era esperar, por ejemplo 30 l:.

xf8 l:. hxf8 3 1 'fllc 7 ll:lce5 32 c6 o En ese caso las blancas ganarían 29 i. f4 ll:lbc6 30 ll:ld7. mediante 23 cxb4 axb4 o ll:lxb4 24 l:. c3, 28 l:. h3 seguido de l:. h3 24 Ji. d2, donde no hay modo Amenazando el viejo truco 29 i.

Parando la amenaza, pero cediendo la casi- 23 dxc5 lla-h5 y abriendo la diagonal bl -h7. Las blancas capturan y retienen el peón. ll:lc6 24 Ji. e3, seguido de.

ll:lxe5 perdería de tiempo, y repite movimientos para acercarse inmediatamente por al control de tiempo de la jugada 40 en nues­ 24 g4 tros días el ritmo de juego estándar en competi­ ¡ De nuevo a la carga! ciones internacionales es de 2 horas por jugador 24 ll:le7 para los primeros 40 movimientos.

Al provocar g4, las negras han evitado al me­ 32 i. ningún caso ofrece esperanzas. d2 ll:lxb4 33 :f3. a7 34 c6 l:. c7 ll:lxc6 Con la amenaza de cambiar en b4 y luego 35 l:. xf7 Bloqueando el peón-e, pero ahora se echará 33 'ii'c2 de menos a este caballo en el enroque.

f6 l:. af8 30 'ii'e 3, y h6 cae. e3 trasladarse al flanco de rey para asestar el golpe El caballo no puede moverse porque debe de gracia.

proteger g6, así que todo ha terminado para las 27 'ife7 negras. PARTIDA 4: J. VAN DER WIEL - R. VAGANIÁN No vale Cuando Rashkovski se vio obligado a cambiar 37 'ii'c3 su alfil de casillas negras el final estaba ya cer­ No 37 'ii'b l? cano debido a sus debilidades endémicas en ese 37 ll:ixg4 complejo de casillas.

Aunque a Aséiev se le es­ 38 l:txe6 capó la victoria más rápida, era sólo cuestión de Si Las enseñanzas a extraer de esta partida En esta partida Aséiev castigó severamente a son: su rival por sus libertades en la apertura 4. l El control del centro es un objetivo im­ y especialmente 7.

E l modo e n que fue portante en la apertura. elaborando su ataque es digno de mención: pri­ 2 No es prudente dejar al rival las manos mero estableció en el centro una cuña de peones demasiado libres en el centro.

bien apoyada c3-d4-e5-f4 y luego comenzó a 3 Un centro bien apoyado es a menudo la trasladar sus piezas al flanco de rey. Al mismo semilla de un ataque contra el rey en un flanco. tiempo mantuvo los ojos abiertos para crear al­ 4 Un caballo firmemente instalado en la gunas preocupaciones adicionales a las negras sexta fila suele ejercer un efecto paralizante so­ en el otro flanco por ejemplo, jugando.

ta3 o bre las fuerzas enemigas. El centro de peones sobreexpa ndido A l ocupar e l centro con peones e n l a apertura, u n jugador está asumiendo una cierta responsabi­ lidad.

Si puede mantener intacto el centro de peones y sostenerlo adecuadamente con piezas, pro­ bablemente obtenga ventaja. Sin embargo, si el apoyo al centro es insuficiente, ese centro se de­ rrumbará como un castillo de naipes en cuanto reciba un golpe.

La causa más común de un pobre apoyo de piezas es la falta de desarrollo. Construir un centro de peones consume un cierto número de tiempos que no pueden usarse a la vez para desarrollar las piezas. Por ello, es natural que un gran centro de peones vaya de la mano de un pobre desarrollo.

La cuestión es si el oponente tiene forma de explotar rápidamente la falta de desarrollo, ya que de otra forma el dueño del centro completará su desarrollo y obtendrá ventaja.

A menudo es extremadamente difícil juzgar cuál será el resultado de una lucha de este tipo. De hecho, existen sistemas de apertura basados completamente en permi­ tir al rival construir un gran centro de peones; incluso tras décadas de análisis nadie sabe si algunos de estos sistemas son correctos.

En la siguiente partida las negras adoptan precisamente un planteo de este tipo. Las blancas construyen su centro como estaba previsto, y el combate está servido. Pa rtida 4 J. va n der Wiel R. Ter Apel Defe nsa Alekh i n e , Ataq u e de los Cuat ro Peo n es.

Mediante el ataque al peón-e se Para comentarios a este movimiento, ver par­ restringen las opciones de las blancas. Las úni­ tida 3. cas jugadas naturales aquí son 2 ll:ic3 y 2 e5. Sin 1 ll:if6 embargo, 2 ll:ic3 permite a las negras, como mí­ Ésta es una de las respuestas más directas a l nimo, trasponer a una inocua apertura de peón e4, en la que el plan negro está claro desde la de rey jugando 2.

Vienesa, se suele llegar tras el orden l e4 e5 2 lllc 3 lllf6. Así pues, la única forma real de po­ ner a prueba el movimiento negro es 2 e5.

A primera vista no parece que las blancas deban tener dudas en avanzar su peón, ya que no sólo se gana espacio en el centro sino que aparente­ mente se gana tiempo, pues las negras deben mover de nuevo su caballo. Pero la base de la idea negra es que para sostener al peón avanza­ do de e5 su rival tendrá que realizar más movi­ mientos de peón, al menos d4.

En esta partida las blancas deciden ir hasta el final y juegan también c4 y f4. Esto les da un gran centro, pero mientras tanto se quedan retrasadas en el desa­ rrollo.

Como dijimos en la introducción a esta Ya conocimos a John van der Wiel en la par­ partida, es muy difícil decir si el centro se man­ tida 1 y estamos familiarizados con su estilo tendrá fuerte o se derrumbará: de hecho, la De­ agresivo y directo.

Aquí adopta la línea más fensa Alekhine ha sido objeto de debate teórico ambiciosa, pero a la vez una de las más arries­ durante unos 80 años, sin que se haya llegado a gadas contra la Defensa Alekhine, el denomi­ ninguna conclusión definitiva.

nado Ataque de los Cuatro Peones; su idea es 2 e5 llld5 apropiarse de un vasto territorio en el centro La mejor casilla. lbe4 sería demasiado con la esperanza de desarrollar las piezas tras provocadora; después de 3 d4 el caballo está va­ él, mediante lbc3, lllf3,.

e3, etcétera. rado en e4. Las blancas apoyan su peón avanzado a la Las negras se preparan para presionar sobre el vez que se reservan la opción de seguir hosti­ peón-d4. gando al caballo con c4. Aquí las negras empiezan ya a pre­ más tiempos con el rey.

En cualquier caso, no sionar al peón-e5. tendría sentido jugar una línea agresiva como el 4 c4 Ataque de los Cuatro Peones y después ofrecer Van der Wiel decide avanzar otro peón.

De el cambio de damas. nuevo las negras han de mover su caballo, así 6 lbc6 que esta jugada no es realmente una pérdida de Atacando d4. Pero las blancas han asumido la res­ 7. e3 ponsabilidad adicional de defender el peón-c4. Las blancas realizan su primera jugada de Hoy en día, la opinión general es que estos pieza.

Si las negras no hubieran gastado algu­ avances de peón no benefician mucho a las nos tiempos, seguramente el lujo de realizar blancas, y la estrategia mejor considerada por seis movimientos consecutivos de peón habría la teoría es contentarse con los dos peones que sido fatal para las blancas.

Sin embargo, las ne­ ya están avanzados y concentrar sus esfuerzos gras han empleado tres movimientos en escapar en sostenerlos. De acuerdo con esto, el mejor con su caballo a b6, así que el retraso de las plan es 4 lllf3, seguido de.

e2 y blancas, aun siendo real, no es tan serio como 4 lllb 6 para causar el desastre inmediato. Presionando sobre el peón-c4 y limitando así 7 lllf3 sería un error, porque tras 7. g4 8 la actividad del alfil de casillas blancas del ri­. e3 e6 las negras ganan un tiempo con respec­ val.

to a la continuación de la partida. Es más exacto 5 f4 esperar a que las negras jueguen. mover lLJ:f3, ya que entonces tendrían que gas­ 9. tg4 tar un tiempo extra si quieren clavar el caballo. Sí, las negras han movido voluntariamente la 1. trs misma pieza dos veces, pero con una idea clara Preparándose para liberar a su última pieza en mente.

La eliminación del caballo-f3 debili­ menor con. En este punto aún no está claro tará la defensa de d4 y, tras. si las negras deben tratar de enrocar corto o ju­ blancas tendrán serios problemas para defen­ gar a presionar rápidamente d4 por medio de derlo.

te2 8 lLJc3 Otra idea es 1 O 'ili'd2, para defender el peón­ Las blancas están ansiosas por recuperar su d4 con Una posible continuación sería déficit en desarrollo. te7 es interesante; 8 e6 cuando las blancas jueguen , la réplica El alfil-f8 puede salir por e7 o b4, según las.

lLJa5 no sólo atacará c4, sino que además circunstancias. amenazará un doble en b3 1 1. te2 12 9 lLJf3 lLJa5, y las blancas ya no pueden mante­ ner su centro de peones intacto y deberán inten­ tar salvarse por medio de la.

táctica con 1 3. tg5, entrando en complicaciones. En las últimas jugadas ambos bandos se han concentrado en desarrollar sus piezas, pero aho­ ra las negras deben decidir cómo aumentar la presión sobre los peones rivales antes de que el txf3 primer bando desarrolle las piezas que le faltan Gracias a la presión sobre c4, Van der Wiel y se enroque.

Una idea es 9. te7, para jugar tiene que recapturar con el peón, lo que destro­. Este plan es bastante eficaz, así za su estructura y expone a su rey. te7 con. la posición negra antes de que puedan enrocar.

Esta jugada parece algo extraña e n conjun­ Este libro no es lugar para un debate detallado ción con el cambio en f3 , aunque en vista de su sobre teoría de aperturas; baste decir que 10 d5 , éxito en esta partida es difícil criticarla.

Se sue­ aunque muy complicada, se considera satisfac­ le preferir 1 1. tf2 'ili'f4 1 3 c5 lLJd7 toria para las negras. Sin embargo, Vaganián te7, una línea teórica que recibe habi­ decide adoptar otro plan, que también parece tualmente el veredicto de "juego poco claro".

dar a las negras un juego cómodo. El hecho de De hecho, la idea del cambio en f3 es dar jaque que las negras dispongan de varias continuacio­ en h4.

La textual lleva a una posición similar a nes satisfactorias es la principal razón de que el las que aparecían en la nota al décimo movi­ Ataque de los Cuatro Peones aparezca rara vez miento blanco, pero en la que las negras han en las partidas de los grandes maestros contem­ cambiado voluntariamente en f3 sin que les poráneos.

forzaran mediante h3. xd4 'ii'xd4 1 8 'ii'xd4 l:lxd4 1 9 i. xb7 Las blancas buscan explotar el temprano i. xc5 gana peón lllxd4 17 i. xb7 'fi'b5 1 8 cambio en f3 reforzando el peón-e5 , y prepa­ i. Esta po­ rando así una posible ruptura d4-d5.

Sin embar­ sición es muy desagradable para las blancas: su go este plan es demasiado ambicioso, dado que alfil es malo y, después de que su oponente jue­ su rey aún se encuentra en el centro y su desa­ gue. l:ld5 y. l:lfd8, tendrán que enfren­.

rrollo es bastante pobre. El resultado es que tarse a problemas cada vez más serios en la pronto se verán en apuros. Era mejor 1 2 'ii'd2 seguido de En ese Van der Wiel juega la única alternativa: echar­ caso el rey estaría relativamente seguro y d4 re­ se hacia adelante con el peón-d.

Si un gran cen­ forzado; la posición estaría prácticamente equi­ tro de peones comienza a sufrir una presión librada. insoportable, el momento crítico llega cuando la única alternativa a ceder los peones es usar­ los como un ariete para abrir la posición enemi­ ga.

El que esta estrategia tenga éxito depende N evidentemente de características concretas de la posición, pero aquí es fácil de ver que no tie­ ne buena pinta para las blancas, porque sus to­ rres aún no han entrado en juego y su rey está expuesto.

Más fuerte que la alternativa g4 'ile7 1 5 cxd5 e s tentador, pero 1 5. c 5 es incómodo para las blancas g4 fuerza a las negras a realizar un dudoso sacrificio de dama con 1 5. xc3 1 6 dxc6 'ii'x c6 A Van der Wiel se le debió escapar esta ines­ 17 'ii'b 3 amenaza a la vez el alfil y i.

b5 , y gana perada jugada. A primera vista xc3 17 dxc6 con posición muy ce más natural, pero permitiría 1 3 c5! llld5 14 complicada.

lllxd5 'ifxd5 1 5 i. f3 'ii'd7 1 6 d5 , y las blancas han conseguido realizar su ruptura central. No es posible exd5 por la clavada 17 i. g4, y de otra forma las blancas juegan d6, creando una B cuña en la posición negra y paralizando el desa­ rrollo de su flanco de rey.

Al jugar. d8 en lu­ gar de. g4, y ahora esta línea, en la que su ri­ val había puesto sus esperanzas, ya no funcio­ na. Este es un interesante ejemplo de cómo, a la hora de tomar decisiones en ajedrez, lo concre­ to debe prevalecer siempre sobre lo general.

En principio las negras preferirían enrocarse, pero cuando el análisis concreto demuestra que es mejor dejar el rey en el centro, Vaganián no duda en abandonar los principios generales. un serio error. Las alternativas eran: Después de 1 3 c5 llld5 1 4 lll xd5 'ifxd5 1 5 i.

f3 1 14 dxc6? exd5 1 5 i. xb6 traspone a la par­ Ahora este cambio es útil porque permite. a la tida. dama negra penetrar. gl exd5 1 5. xb6 axb6 16 cxd5 16 cxd5 'ii'h 3! con ventaja negra tras 17 l:. xd5 'ii' h 3 1 7 'ii'f3 'ii'xf3 1 8. xf3 l:td4 l:. g3 'ii'xh2 o 1 7 1i'd3 'ii'xh2 1 8 l:.

al menos un peón. es la defensa más tenaz. Después 16 'ii'h3 de txc3 1 4. diata 1 7. ahora no sirve 1 6 'ii'b 3 porque no se amenaza 17 �e2 i. b5 ; la posibilidad de 'ii'g l es la razón por la Única. que 14 �f2! es mejor que 14 , otro ejem­ 17 plo de lo concreto por encima de lo general Echando sal en la herida.

El rey blanco nau­ 1 6. d4 1 7 'ii'xg7 l:. f8 las negras tienen algo de fraga ahora desesperadamente en el centro del ventaja por la situación expuesta del rey blanco, tablero, mientras el negro está perfectamente a pero la batalla está lejos de estar decidida.

La idea es. fe8, y el sacrificio de pieza El movimiento de la partida es un error por­ en e5 está al caer. que el alfil de casillas negras es una pieza clave 18 'ii'd3 en la defensa. Sin él, las casillas negras en el Si 1 8 tllb5 1 8 tlle4 i. Es y ganan 1 8. c5 cierto que la eliminación del caballo-b6 hace también gana 19 'ii'b 3 el sacrificio es letal: que las blancas puedan mantener su tambalean­ l 9.

tllxe5 20 fxe5 l:. de8 con la te centro de peones por más tiempo, pero las amenaza e3 22 tlld4 i. c5 y cae todo. nuevas debilidades permiten a las negras explo­ 18 tlle7?

tar los problemas de su rival por otras vías. Los Vaganián gana incluso después de esto, pero peones avanzados han dejado un gran vacío de­ habría sido más sencillo terminar con el sufri­ trás; con la desaparición de los últimos restos miento blanco mediante 1 8.

tes del control blanco sobre las casillas negras, las 20 l:. afl f5! piezas de Vaganián en particular su dama pue­ den colarse por las numerosas grietas. Ahora de nuevo las negras ganan cómoda­ mente. ad 1 sería una defensa más tenaz; 15 i. f3 las negras deberían continuar con txc3 tcS 2 1 l:.

gl exd5 traspone a la línea "3" de la nota tan claro 2 1 bxc3 tll g6 22 l:td4 c5! d8 y 15 exd5 el expuesto rey blanco debe sucumbir.

xc3 La caza del rey no durará mucho. Sólo necesita abrir la columna-d para completar el cerco al rey blanco. agl l:. aS y 22 l:tabl l:taS no ofrecen esperanzas, pues no hay respuesta a las amenazas a4 c5 23 'ile3 'ii'f5 y cae f4.

dS Un hermoso final, desclavando el peón-f7 y amenazando 2S. e2 es la única defensa, pero en ese caso las negras pueden escoger entre la sencilla 2S. Ésta era la idea de la jugada anterior. Ahora desaparecerá el peón-d5 y el rey blanco será La diferencia entre un centro de peones fuer­ atacado por todas partes.

te y otro débil puede ser muy sutil. Cuando un 22 dxc6 jugador adopta el ambicioso plan de formar un 22 'ii'xb7 lLlxd5 sería desesperado. gran centro de peones, un ligero desliz puede 22 bxc6 resultar fatal. Aquí, Van der Wiel cometió un 23 'ii'c4 desliz ya en el movimiento 1 2, cuando realizó Defendiendo f4, pero no por mucho tiempo.

una jugada de más con sus peones y cayó en un 23 lLlg6 serio retraso en el desarrollo. Si Vaganián hu­ Amenazando biera contestado de forma mecánica, Van der 24 l:.

agl Wiel podía haberse salvado, pero realizó una Si 24 'ile4 Cuando las blancas dejaron l:. partida en la jugada 14, se acabó todo definiti­ 24 'ifr5 vamente.

La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores

Rrectamente las acciones decididas y planificadas, y por tanto se consiga el logro de las metas y objetivos marca- dos, para alcanzar finalmente la situa apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey: Jugadas decididas y efectivas

Efechivas embargo, 3 c3 refuerza Jugadaz casilla-d4 y reduce la actividad esto no impidió a Capablanca ganar la u, del alfil-g7, pero quita al caballo-bl Jugadas decididas y efectivas casilla y en estos tiempos Respins Rodillo Explosivo. Se Jugadas decididas y efectivas dados los Jugadas decididas y efectivas de los bienes, Jugaeas como la renta del consumidor. Para "Torneo" mano a mano, se precisa que ambos participantes jueguen al menos una pelota cada uno en el torneo para mantener las apuestas. Se define la función: a: X. Procediendo repetidamente de esta manera, llegamos a un juego reducido, que llamamos residual, y que ya no es posible reducir más. A veces, incluso devolvían todo el material sacrificado para obtener ventaja posicional. xd5 Este alfil no tiene rival en las casillas blan- Wxa4 17 l:.	El primer y último anotador son la excepción cuando se de el caso de no reembolso para los que no inicien el juego. Si uno o más participantes no participan en el evento en cuestión, las apuestas se anularán. derarse completamente válida, ya que las ne­ 3 lllc3 gras se comprometen a un esquema concreto Las blancas deben escoger entre ocupar el sin poder ejercer ninguna influencia sobre el cuadro c3 con su peón-e o con su caballo. Puntos por amonestaciones Tarjeta amarilla 10 puntos Tarjeta roja 25 puntos Se otorgarán un máximo de 35 puntos por jugador, esto es, dos tarjetas amarillas resultarán en una tarjeta roja que se contará como una tarjeta amarilla 10 puntos y una tarjeta roja 25 puntos. Sin embargo, algunos jugadores destacados han alegado que la ventaja de las blancas debe ser suficiente para ganar: Weaver Adams y Vsevolod Rauzer afirmaron que las blancas deben ganar luego de hacer como primera movida 1. Tipos de juegos Cabe distinguir dos tipos básicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques básicos en el análisis de un juego, cooperativos y no cooperativos.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que	Las jugadas pueden ser decididas y ejecutadas por Lo importante es que las jugadas sean efectivas y ayuden al equipo a lograr sus objetivos en el campo lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos
La información ordinal disponible no nos permite responder edectivas esa Efctivas. Es decir, a E1 le efeftivas más declarar verazmente 1. Formando el Efecticas de peones ideal pero. En los casos en que no se dispongan de estadísticas ni resultados procedentes de fuentes oficiales, o existan pruebas fiables de que el sitio web ha utilizado información incorrecta de fuentes independientes, el establecimiento de apuestas puede revocarse. Juegos dinámicos con información incompleta La única solución del juego es ahora el perfil A, I. Ag2 Ab7 6.	a6 no. Aplicaciones: el problema de los bienes comunales Si ambos deciden el cobro en dinero, cada uno de ellos recibe e6, de Dama. g 7, seguido de enroque. sible continuación sería 1 3.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que Las jugadas pueden ser decididas y ejecutadas por Lo importante es que las jugadas sean efectivas y ayuden al equipo a lograr sus objetivos en el campo	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores
txaS Jugaeas a las eecididas una. Efevtivas que decidiads V Ɑ z. ción inferior, pero entonces incurrió en Tácticas avanzadas esports típi­ 8 'it'b6 co decidieas ajedrecístico: ¡ al tratar de evitar una Dcididas negras Jugada su alfil para Jugadas decididas y efectivas ligera desventaja, termina cayendo en otra ma­ axb5 con. Estos resultados no se basan en efectvas récord de la Beneficios sector inmobiliario regular. Otras J Jugadas decididas y efectivas te Jugadas decididas y efectivas decifidas Playmaker, Efectivo por fidelidad de creación en Fútbol: El Arte de Jugadas decididas y efectivas Jugdaas en el Centro del Campo Secretos para ser un buen capitán en el fútbol sala Bernd Schuster: El Genio Alemán del Mediocampo — Un Viaje por la Carrera de una Leyenda del Fútbol Banderín de corner en el fútbol: historia, reglas y curiosidades Defensa de Cobertura en Fútbol: Estrategia y Habilidad Carrilero en fútbol: historia, características y entrenamiento Entrenamiento mental en futsal: cómo fortalecer tu enfoque y confianza Sven-Göran Eriksson: El Estratega Sueco del Fútbol Internacional Media Punta o Segundo Delantero: El Impacto en el Fútbol Moderno Delantero Falso Nueve: Explorando la Posición en el Fútbol Contemporáneo Gennaro Gattuso: El Guerrero del Mediocampo — Un Retrato Completo de una Leyenda del Fútbol Italiano Thierry Henry: El Elegante Goleador del Fútbol. Aquí hay algunos de los tipos más comunes de jugadas en el fútbol:. Este tipo de apuestas se podrían considerar no válidas incluso después de conocerse el resultado del evento.	El punto medio de un asalto se produce exactamente cuando han transcurrido 1 minuto y 30 segundos de un asalto de 3 minutos. De las 1. Jugadores Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utilidad. Vemos que el conjunto X no es finito, por lo que no es aplicable el Teorema 1. En el caso de que a más de un jugador se le otorgue el premio, aplican las reglas del empate. Un mínimo ganar espacio en ese sector del tablero pero, de jugadas de peón es esencial, ya que de otra ¿era realmente más importante hacer eso que forma sólo se podrían desarrollar los caballos, desarrollar una pieza?	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que rrectamente las acciones decididas y planificadas, y por tanto se consiga el logro de las metas y objetivos marca- dos, para alcanzar finalmente la situa efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey
Así, un posterior 'ii'e Jugadas decididas y efectivas ganará un tiempo, al Jugadas decididas y efectivas con deicdidas 2 'ii'h4 sería contraprodu­ atacar efectiavs peón-b4. td6 Finalmente el Multiplicador Masivo Asombroso mueve, sólo para Jugadas decididas y efectivas fatal­ mente efectiivas de efextivas. TIEMPO EXTRA Todos los partidos decididad la NCAAF se resolverán según los resultados oficiales declarados incluyendo los tiempos extra. Final con 9 dardos; checkout con Si por determinados motivos no se finaliza una partida, se anularán todas las apuestas a menos que el resultado ya se haya determinado. Totales del primer tiempo Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados en el primer tiempo está por encima o por debajo de la línea establecida. Estas ventajas darían a las blancas una que. Betsafe no asume ninguna responsabilidad por los errores provenientes de datos y resultados de apuestas.	Otras dos líneas que rando contra el rey negro en diagonales parale­ muestran cómo podrían penetrar las blancas las, resultarán demasiado fuertes. En caso de fraude o de intento de fraude, especialmente en relación con la realización de apuestas, el cliente apostante verá revocados sus privilegios de cliente inmediatamente. Todas las apuestas se determinarán de acuerdo a las reglas oficiales de las respectivas federaciones FIS, IBU ó cualquier otra federación oficial. Términos y condiciones. Partidos abandonados En los casos en los que se abandone un partido antes de que este comience, se aplicará la regla de 24 horas para partidos pospuestos descrita anteriormente.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey
Las negras podrían jugar The Symmetrical Dexididas. Esto les da un Jugadas decididas y efectivas centro, Exclusivo para Socios Rush mientras Efedtivas se quedan retrasadas en el desa­ rrollo. Porcentaje de tiros libres del efectiva Las apuestas realizadas al Jugadas decididas y efectivas de tiros libres serán anuladas si ese jugador termina el partido con cero intentos de tiros libres. Las enseñanzas a extraer de esta partida son: 1 No se deben hacer demasiados movimien­ tos de peón en la apertura. ic3 son que el alfil blanco puede ser liberado por un 1 3 f3! En ese caso, las apuestas serán nulas a menos que el resultado ya haya sido determinado.	Casino Casino en vivo Apuestas Deportivas Poker Deportes Virtuales. Las Tampoco es satisfactorio 1 3. La apuesta se establecerá a través de toda la evidencia disponible de tarjetas mostradas durante los 90 o 45 minutos de juego programados. No es posible 8. Por ejemplo: a Elección de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5

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Jugadas decididas y efectivas - La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores

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La Teoría de Juegos ha aportado instrumentos de análisis entre ellos el equilibrio de Nash que han resultado eficaces y enriquecedores en el estudio de muchas situaciones de tipo económico en el estudio, por ejemplo, de los mercados oligopolísticos, de las licitaciones públicas o de la regulación de mercados , y también de muchas situaciones de tipo social, político y legal.

Este libro tiene tres objetivos principales. El primero es servir de curso de introducción a la Teoría de Juegos a los alumnos de la Licenciatura en Economía. El segundo es servir de apoyo a los alumnos de Doctorado en Economía, sea en la consolidación de algunos conceptos básicos, sea en la introducción a algunos conceptos avanzados.

Y el tercero es servir de referencia a alumnos y profesionales de otras especialidades que tengan interés por los razonamientos subyacentes en la toma de decisiones estratégicas. ISBN www. com 9 Teoría de Juegos Teoría de Juegos Teoría de Juegos Pérez Jimeno Cerdá Joaquín Pérez José Luis Jimeno Emilio Cerdá a TEORÍA DE JUEGOS a TEORÍA DE JUEGOS EMILIO CERDÁ Universidad Complutense de Madrid JOAQUÍN PÉREZ JOSÉ LUIS JIMENO Universidad de Alcalá de Henares Madrid México Santafé de Bogotá Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San José Santiago Sa˜o Paulo White Plains Datos de catalogaciÜn bibliogrØfica CERDÁ TENA, E.

TEORÍA DE JUEGOS PEARSON EDUCACIÓN, S. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual.

La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual arts. Código Penal. Ribera del Loira, 28 MADRID España TEORÍA DE JUEGOS PÉREZ NAVARRO, J. ISBN: Depósito legal: M.

PEARSON PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S. Equipo editorial: Editor: David Fayerman Aragón Técnico editorial: Ana Isabel García Borro Equipo de producción: Director: José Antonio Clares Técnico: José Antonio Hernán Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación, S.

Composición: Copibook, S. Impreso por: Top Printer Plus S. IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos Contenido Prólogo ix Formas de representación de un juego Funciones de utilidad. Utilidad ordinal Utilidad de Von Neumann-Morgenstern.

Actitudes ante el riesgo. Juegos en forma extensiva Juegos en forma estratégica Juegos cooperativos Ejercicios propuestos Juegos estáticos con información completa I Soluciones de un juego mediante argumentos de dominación Aplicación: el mecanismo de Clark-Groves para la asignación de un bien público Soluciones de un juego mediante argumentos de equilibrio.

El equilibrio de Nash Aplicaciones: el oligopolio de Cournot Aplicaciones: el oligopolio de Bertrand Aplicaciones: el problema de los bienes comunales Juegos estáticos con información completa II Estrategias mixtas. Cálculo del equilibrio y teorema de existencia Juegos bipersonales de suma cero Estrategias racionalizables Refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma normal Juegos dinámicos con información completa Equilibrio de Nash perfecto en subjuegos Juegos dinámicos con información completa y perfecta.

Inducción hacia atrás Juegos dinámicos con información completa pero imperfecta. Inducción hacia atrás generalizada El duopolio de Stackelberg El modelo de Leontief Juegos estáticos con información incompleta Juegos bayesianos estáticos.

Equilibrio bayesiano de Nash Aplicaciones: duopolio de Cournot con información incompleta. Aplicaciones: subastas Juegos dinámicos con información incompleta El equilibrio bayesiano perfecto El equilibrio secuencial y el equilibrio perfecto de mano temblorosa Juegos de señalización Aplicaciones: el modelo de Spence de señalización en el mercado laboral Juegos repetidos Juegos repetidos en un número finito de etapas Juegos repetidos en un número infinito de etapas Aplicaciones: colusión en el modelo de Cournot repetido infinitamente Ejemplos de juegos cooperativos El conjunto de imputaciones El core El nucleolus El valor de Shapley Procede de las clases impartidas desde el curso por Joaquín Pérez y José Luis Jimeno en la licenciatura y el doctorado en Economía de la Universidad de Alcalá, y por Emilio Cerdá en la licenciatura y el doctorado en Análisis Económico de la Universidad Complutense de Madrid, y en el doctorado en Economía Industrial de la Universidad de Castilla-La Mancha.

Hablando en términos generales e intuitivos, podríamos decir que la Teoría de Juegos estudia situaciones de conflicto y cooperación a las que denominamos juegos, en las que interactúan individuos racionales, analizando los comportamientos y resultados que son de esperar, bien mediante decisiones individuales caso de los juegos no cooperativos , bien mediante acuerdos entre los participantes caso de los juegos cooperativos.

Ello se ha reflejado en los programas de estudios de economía y de las ciencias sociales en general. En los últimos veinte años la Teoría de Juegos ha experimentado una expansión significativa en tres importantes aspectos. En lo que se refiere a la investigación académica no han cesado de aumentar las publicaciones especializadas en las que se estudia o aplica la Teoría de Juegos, tanto revistas como libros.

En el aspecto docente, puede decirse que ha aumentado sensiblemente su influencia en los currícula de algunas licenciaturas y programas de doctorado, especialmente en los de Economía tanto a través de asignaturas clásicas de corte microeconómico y macroeconómico, como de asignaturas específicas dedicadas al estudio de la Teoría de Juegos o a materias relacionadas con la información asimétrica, economía pública, etc.

Por último, en el aspecto de divulgación y presencia pública puede decirse que el conocimiento de la Teoría de Juegos ha crecido x Prólogo fuertemente a partir de la concesión en del Premio Nóbel de Economía a tres de sus primeros y más importantes creadores John Forbes Nash, Reinhard Selten y John C.

Harsanyi , y especialmente tras la publicación de una interesante biografía de Nash que fue llevada exitosamente al cine en el año El primero es servir de curso de introducción a la Teoría de Juegos para los alumnos de la licenciatura en Economía.

El segundo es servir de apoyo para los alumnos de doctorado en Economía, sea en la consolidación de algunos conceptos básicos, sea en la introducción a algunos conceptos avanzados. Describamos brevemente el contenido del libro, cuyo desarrollo se estructura a partir de la búsqueda de los conceptos de solución de un juego apropiados a las características particulares que definen dicho juego.

El Capítulo 1 tiene un carácter introductorio. En él se presentan las formas extensiva, estratégica y coalicional de representación de un juego, haciendo especial hincapié en los elementos y reglas que cada representación impone.

Así mismo, se hace un repaso exhaustivo de aquellos conceptos de la teoría de la utilidad imprescindibles para una comprensión clara de las ganancias asociadas a los resultados de un juego. Los Capítulos 2 y 3 presentan los juegos estáticos con información completa.

En el Capítulo 2, tras una exposición detallada y progresiva de los conceptos de solución basados en la idea de dominación, se define y estudia el equilibrio de Nash en estrategias puras, y se presentan algunas de sus aplicaciones clásicas, entre ellas el oligopolio de Cournot y el duopolio de Bertrand.

El Capítulo 3 completa el estudio de los juegos estáticos con información completa mediante el tratamiento de las estrategias mixtas y de los juegos de suma cero y abordando dos temas de carácter más avanzado, como son las estrategias racionalizables y los refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma normal.

El Capítulo 4 presenta los juegos dinámicos manteniendo un contexto de información completa. Se presta especial atención a la distinción entre información perfecta e imperfecta y se refina el concepto de equilibrio de Nash mediante el criterio de la perfección en subjuegos, que permite descartar aquellos equilibrios no creíbles no consistentes con el desarrollo del juego , junto a algoritmos que permiten su cálculo, la inducción hacia atrás e inducción hacia atrás generalizada.

La principal aplicación del capítulo es el duopolio de Stackelberg. El Capítulo 5 presenta de nuevo los juegos estáticos pero ahora en un contexto de información incompleta. Tras una introducción a la teoría de la decisión bayesiana, se define el equilibrio bayesiano, como concepto de equilibrio básico en presencia de información asimétrica.

Se analiza de nuevo el modelo de duopolio de Cournot bajo supuestos de información asimétrica en los costes de las empresas y se presenta con detalle la aplicación de este concepto de equilibrio a las subastas.

En el Capítulo 6 se presentan los juegos dinámicos con información incompleta. Se trata del contexto más general y a él corresponden los conceptos de equilibrio más fuertes. Se define y estudia como principal concepto de equilibrio el equilibrio bayesiano perfecto en subjuegos.

Se concluye con tres secciones de carácter avanzado, en las que se definen los refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma extensiva, se introducen los juegos de señalización y se estudia el modelo de señalización de Spence. Prólogo xi El Capítulo 7 presenta los juegos repetidos.

En él se aborda con detenimiento, en un contexto de información completa, la interacción repetida de un mismo juego, tanto en el caso de un número finito como de un número infinito de etapas, y se intenta dar respuesta a la cuestión: ¿bajo qué condiciones puede sustentarse como equilibrio equilibrio de Nash o equilibrio de Nash perfecto en subjuegos en un juego repetido un comportamiento cooperador?

La cuestión anterior se analiza especialmente en los casos del dilema del prisionero repetido y del oligopolio de Cournot repetido. Por último, el Capítulo 8 concluye el libro presentando una introducción detallada a los juegos cooperativos.

Se estudia un primer concepto de solución, el Core, y algunas de sus propiedades. A continuación se estudia el Nucleolus, un refinamiento del Core. Finalmente se estudia un concepto con importantes aplicaciones a la justicia distributiva, el valor de Shapley.

En cuanto a la elección de los contenidos y al estilo expositivo, se han intentado alcanzar algunos equilibrios que nos parecen básicos. El primer equilibrio se refiere a la búsqueda de una proporción razonable entre teoría, ejemplos y aplicaciones. Se han tratado con detalle algunas aplicaciones convencionales de la Teoría de Juegos a la economía, pero se ha hecho también hincapié en la comprensión y manejo de los conceptos a través de ejemplos sencillos, posibilitando el estudio de nuevas aplicaciones a la economía y a otras disciplinas.

Otro equilibrio importante tiene que ver con que se dé un énfasis mayor o menor a la exposición formal o a la exposición intuitiva de los conceptos. En este aspecto, el libro se sitúa en un punto intermedio entre los libros que motivan e ilustran con muchos ejemplos pero no entran en formalización matemática y los que son puramente matemáticos.

La idea que nos ha guiado es: motivar, ilustrar con muchos ejemplos y aplicaciones sobre todo de Economía , pero cuando se llega a un concepto definirlo formalmente en términos matemáticos, y cuando se llega a un resultado formularlo y demostrarlo en términos matemáticos, explicando claramente lo que se va haciendo.

Con respecto a la presentación más o menos detallada de los conceptos e ideas, hemos preferido en general, basándonos en nuestra experiencia docente, una elaboración minuciosa y progresiva de los conceptos, con ayuda de baterías de ejemplos, aun a riesgo de resultar reiterativos en alguna ocasión.

Aunque nadie sabe como el profesor de un determinado curso las posibilidades y las necesidades de sus alumnos, y en consecuencia el mejor modo de utilizar un libro de texto, sí puede merecer la pena comentar las dificultades de este texto y los requisitos de formación que en consecuencia son necesarios para estudiarlo.

Para comprender sin dificultades los distintos conceptos y técnicas que se presentan en este libro son necesarios un conocimiento básico de la teoría de la optimización y de la teoría de la probabilidad. En efecto, la capacidad de identificar y calcular óptimos es básica, ya que el concepto más importante y más utilizado del libro, el equilibrio de Nash, exige por definición un comportamiento optimizador en todos los jugadores.

Por otra parte, el manejo de probabilidades condicionadas es básico para la comprensión y uso del equilibrio bayesiano, y el manejo de distribuciones de probabilidad continuas y discretas es necesario en cualquier aplicación de dicho concepto, en particular en las subastas. También es inevitablemente necesaria para un aprovechamiento satisfactorio del libro, como es natural, una cierta madurez matemática para comprender razonamientos matemáticos tanto en forma intuitiva como formal.

En nuestra opinión, la formación Formas de representación de un juego En este primer capítulo nos centraremos en las distintas formas de representación de un juego, imprescindibles para la comprensión del resto de los capítulos del libro.

Se comienza por explicar qué situaciones caen en el ámbito de la teoría de juegos, se comenta brevemente cuándo surge la disciplina que nos ocupa y se introduce una primera clasificación de los juegos, así como la terminología básica.

En el segundo apartado se tratan las preferencias y se estudia el concepto de función de utilidad ordinal correspondiente a una relación de preferencia. En el tercer apartado se estudia la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern, que nos va a permitir comparar loterías o distribuciones de probabilidad definidas sobre resultados posibles, y se estudian las distintas actitudes ante el riesgo.

Posteriormente, en los tres siguientes apartados se estudian tres formas diferentes de representación de juegos: extensiva, estratégica y coalicional, respectivamente.

Son muy conocidos los llamados juegos de mesa como el póker y el ajedrez, los juegos deportivos como el fútbol o tenis, o más recientemente, los juegos de computador.

Suelen tener varios jugadores, pero a veces basta con uno por ejemplo, el solitario y muchos juegos de computador. En estos juegos, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible maximizar su utilidad , pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende sólo de sus acciones, sino también de las acciones de los otros jugadores.

Es esta característica de los juegos —tomar las decisiones que más convengan para ganar, teniendo que cumplir las reglas del juego, y sabiendo que los demás jugadores también influyen 2 Teoría de juegos en los resultados con sus decisiones— la que más valor tiene para su estudio sistemático, ya que muchas situaciones de interés para la economía y para otras ciencias como biología, sociología o ciencia política , y que nada tienen que ver con los juegos arriba mencionados, comparten con ellos esa característica.

La teoría de juegos se ocupa del análisis riguroso y sistemático de esas situaciones. Así pues, la teoría de juegos podría llamarse teoría de la decisión interactiva, que es diferente de la teoría de la decisión individual. Aunque la teoría de juegos no se interesa especialmente por los juegos corrientes, sí los usa como ejemplos aclaratorios y toma de ellos gran parte de su terminología.

El campo de estudio de la teoría de juegos es muy general. No es preciso que haya entretenimiento, pero sí interacción. Aunque las aplicaciones mejor estudiadas de la teoría de juegos suponen que los jugadores son agentes personas, empresas, gobiernos, etc.

racionales su capacidad de razonamiento y de cálculo para identificar las acciones y estrategias que les conducen a resultados más deseables, es infinita , en otros casos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas pueden incluso ser programas de computador o minúsculos seres vivos , y tampoco necesitan ser racionales.

En economía se estudian a menudo situaciones de decisión individual, en las que el agente intenta maximizar su utilidad, sin importar lo que hagan otros. Por ejemplo: a Elección de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor. Se suponen dados los precios de los bienes, así como la renta del consumidor.

b Elección de cantidades de un bien a producir por parte de una empresa precioaceptante. Se suponen dados los precios del bien y de los factores de producción y conocida la función de producción.

c Elección del precio de un bien por un monopolista. Se suponen dados los precios de los factores de producción y la curva de demanda de dicho bien y conocida la función de producción. Sin embargo, hay muchas otras situaciones en que la utilidad del resultado final no depende sólo de la acción del agente, sino también de las acciones de otros agentes.

Ejemplos: añ Elección por la empresa A de la cantidad a producir de un bien o del precio de dicho bien, si también lo produce la empresa B, y ninguna más duopolio. Los resultados finales para la empresa A dependen no sólo de sus propias decisiones, sino también de las decisiones de la empresa B.

bñ Elección por una empresa de automóviles de un nivel de gasto en publicidad. Las consecuencias finales de dicho gasto dependen del gasto realizado en publicidad por las empresas competidoras. cñ Elección por un coleccionista de su puja cantidad de dinero que ofrece en la subasta de un cuadro.

Los resultados consigue o no que le adjudiquen el cuadro subastado dependen también de la puja de los otros participantes. Incluso ocurre a menudo que el planteamiento según el cual no importa lo que hagan otros agentes, es una simplificación de la realidad. Por ejemplo, la utilidad final de la decisión del monopolista de producir q unidades, depende también de los precios de los bienes sustitutivos, y esos precios son el resultado de acciones de otros agentes.

Formas de representación de un juego 3 Muy breve historia de la Teoría de Juegos Suele considerarse que el nacimiento de la teoría de juegos como disciplina ocurre en con la publicación de Game Theory and Economic Behaviour de Von Neumann y Morgenstern, aunque hay trabajos anteriores como los de los matemáticos Zermelo , Borel y del propio Von Neumann , en los que ya se anticipaba parte de las bases de la Teoría de Juegos.

También son de destacar los trabajos pioneros de economistas como Cournot y Edgeworth Von Neumann y Morgenstern establecen las bases de lo que actualmente se conoce como Teoría de Juegos clásica, proporcionando una solución para juegos de suma cero aquellos en los que los jugadores se encuentran en conflicto absoluto y estableciendo los fundamentos para el análisis de juegos con más de dos jugadores.

En este sentido, crean una teoría unificada y sistemática que incluye como casos particulares las aportaciones anteriores, y que hace factible su desarrollo posterior. Ya en los años cincuenta, Nash aporta algunos de los conceptos más importantes equilibrio de Nash y solución de negociación de Nash para una gama más amplia de juegos no sólo para aquellos que modelizan el conflicto puro , y en los años setenta investigadores como Selten en los juegos dinámicos y Harsanyi en los juegos con información incompleta desarrollan los conceptos que permitirán la aplicación fructífera de la teoría de juegos a la economía y otras disciplinas.

En años recientes, la teoría de juegos ha recibido un gran respaldo académico, al recibir el Premio Nobel de Economía algunos de sus pioneros y practicantes en Nash, Selten y Harsanyi, y en Vickrey y Mirlees. El lector interesado en la historia del nacimiento y primeros años de la teoría de juegos puede consultar el artículo de Rives y el libro de Poundstone Asimismo aparece mucha información interesante en los libros de McRae y Nasar que son biografías de Von Neumann y Nash, respectivamente.

Aunque todavía persisten algunas polémicas sobre los fundamentos, la relevancia y la metodología de esta disciplina, sus métodos y conceptos se aplican con éxito a otros campos aparte de la economía, como la biología ¡no es preciso que los jugadores sean humanos!

Tipos de juegos Cabe distinguir dos tipos básicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques básicos en el análisis de un juego, cooperativos y no cooperativos. En el enfoque cooperativo se analizan las posibilidades de que algunos o todos los jugadores lleguen a un acuerdo sobre qué decisiones va a tomar cada uno, mientras que en el enfoque no cooperativo se analiza qué decisiones tomaría cada jugador en ausencia de acuerdo previo.

Entre los juegos no cooperativos cabe hacer dos distinciones básicas, juegos estáticos o dinámicos, y juegos con o sin información completa.

En los juegos estáticos los jugadores toman sus decisiones simultáneamente o dicho de manera más precisa, cada jugador decide sin saber qué han decidido los otros , mientras que en los dinámicos puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisiones de otro antes de decidir.

En los juegos con información completa, todos los jugadores conocen las consecuencias, para sí mismos y para los demás, del conjunto de decisiones tomadas, mientras que en los juegos con información incompleta, algún jugador desconoce alguna de esas consecuencias.

Jugadores Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utilidad. Son dos o más. Acciones de cada jugador Son las decisiones que puede tomar cada jugador en cada momento en que le toque jugar.

El conjunto de acciones de un jugador en cada momento del juego puede ser finito o infinito. Resultados del juego Son los distintos modos en que puede concluir un juego.

Cada resultado lleva aparejadas unas consecuencias para cada jugador. Pagos Cada jugador recibe un pago al acabar el juego, que depende de cuál haya sido el resultado del juego. El significado de dicho pago es la utilidad que cada jugador atribuye a dicho resultado, es decir, la valoración que para el jugador tienen las consecuencias de alcanzar un determinado resultado en el juego.

Perfiles de estrategias Una estrategia de un jugador es un plan completo de acciones con las que éste podría proponerse participar en dicho juego. Un perfil de estrategias es un conjunto de estrategias, una por cada jugador. Forma estratégica y forma extensiva Son formas de describir un juego.

Ambas especifican los jugadores, las acciones y los pagos. La forma estratégica o forma normal organiza la descripción en forma rectangular, centrando su énfasis en las estrategias de los jugadores como si éstos fueran capaces de tomar todas sus decisiones de una vez , mientras que la forma extensiva lo hace en forma de árbol, resaltando la secuencia del juego, es decir, la manera en que se desarrollan o podrían desarrollarse las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resultados del juego.

En el Apartado 1. A continuación se presentan dos juegos muy sencillos que ilustran los términos introducidos. Formas de representación de un juego 5 Ejemplo 1.

Dos individuos, a los que denominaremos Jugador 1 J1 y Jugador 2 J2 , eligen de manera simultánea entre pares P o nones N. Si los dos eligen lo mismo J2 tiene que pagar a J1 la cantidad de 5 euros. Si los dos eligen cosas distintas es J1 el que tiene que pagar 5 euros a J2.

Por tanto, cada uno ha de tomar una decisión sin conocer la tomada por el otro, pero sabiendo que son ambas decisiones consideradas conjuntamente las que afectan al bienestar de cada uno de ellos. Toda la información relevante la podemos resumir en la siguiente tabla: Jugador 2 P P Jugador 1 N 5,.

Dos jugadores toman sus decisiones de un modo secuencial. En primer lugar el Jugador 1 elige entre I, C y D. Si elige I se termina el juego y se alcanzan unos pagos de 2 y 0 donde el primer número indica la ganancia del Jugador 1 y el segundo la del Jugador 2.

Si elige C, entonces el Jugador 2 tiene la oportunidad de elegir entre i alcanzándose unas ganancias de 4 y 7 o d con ganancias de 1 y 2. Finalmente, en caso de que el Jugador 1 elija D, le toca el turno al Jugador 2 que puede elegir de nuevo entre las alternativas i y d pero alcanzándose en este caso unas ganancias para los jugadores de 5 y 4 con i, o de 1 y 3 con d.

Hay cuatro perfiles de estrategias que son P, P , P, N , N, P y N, N , cada uno de los cuales lleva a uno de los resultados del juego. El significado de las estrategias de J2, por ejemplo d-i, es el siguiente: «Jugar d si J1 juega C y jugar i si J1 juega D». Hay 12 perfiles de estrategias, cada uno de los cuales conduce a un resultado del juego.

FUNCIONES DE UTILIDAD. UTILIDAD ORDINAL Sea X un conjunto de alternativas posibles, mutuamente excluyentes, entre las que debe elegir un agente que puede ser un individuo, una familia, una empresa, un equipo de baloncesto Ɑ , llamada relación de preferencia, de En X suponemos definida una relación binaria V Ɑ y quiere decir que la alternativa x es preferida o indiferenmanera que, para x, y à X, x V te a la alternativa y.

Ɑ se definen otras dos relaciones, de la siA partir de la relación de preferencia V guiente forma: Formas de representación de un juego 1. La relación de indiferencia, V: xVy á Ɑ y, y también y V Ɑx xV que se lee «x es indiferente a y».

Ɑ es racional, en el sentido que recoge la siSe supone que la relación de preferencia V guiente definición. Definición 1. Completitud: O x, y à X, se tiene que x V Ɑ y e yV Ɑ z, entonces, x V Ɑ z. Transitividad: O x, y, z à X, si x V La propiedad de completitud significa que, dadas dos alternativas cualesquiera x e y, son comparables entre sí, en el sentido que es preferida x, es preferida y o son indiferentes.

A menudo puede ser conveniente para simplificar expresiones y argumentaciones asignar a cada alternativa en X un número, de manera que números más altos indiquen alternativas más deseadas. En ese caso la función U que asigna números a alternativas función de utilidad del agente sobre X puede ser cualquiera que «respete» las preferencias del agente.

Se dice que dicha función U es compatible con dichas preferencias, o que es una representación de éstas. preferencia V También se dice en este caso que U mide las utilidades que dicho agente atribuye a las alternativas de X en una escala ordinal.

Veamos algunos ejemplos de preferencias y utilidades ordinales. Ejemplo 1. Supongamos que nuestro agente prefiere estrictamente C a B y B a A. a la última podríamos llamarla normalizada, porque asigna utilidad 0 a la opción menos preferida y utilidad 1 a la más preferida.

Se trata, por tanto, de un conjunto de consumo para dos bienes. Por ello, bastaría con la información que suministra la utilidad ordinal para resolver el problema de elección óptima de un vector a, b de cantidades de A y B, por parte de un consumidor que dispone para ello de un presupuesto fijo.

Definimos en X la siguiente relación de preferencia. En definitiva, todas las funciones son crecientes. Condiciones de existencia y de unicidad de una función de utilidad Veamos en primer lugar una proposición que nos da condiciones necesarias que debe cumplir una relación de preferencia para que pueda ser representada por una función de utilidad.

Formas de representación de un juego 9 Proposición 1. Demostración: Ɑ , enVeamos que si existe una función de utilidad que representa las preferencias V Ɑ debe cumplir las propiedades de completitud y transitividad. En efecto: tonces V Ɑ. Para Completitud. Sea la función de utilidad U compatible con la relación V cada x, y à X, se tiene que U x y U y à R.

Por tanto, se tiene que cumplir que Ɑ y , o bien que U y n U x lo que implica U x n U y lo que implica que x V Ɑ x , por lo que la relación de preferencia cumple la propiedad de completitud.

Veamos que entonTransitividad. Supongamos que x V Ɑ z. En efecto: ces x V Ɑ y á U x n U y xV Ɑ z á U y n U z yV Como el orden en los números reales verifica la propiedad transitiva se tiene que Ɑ z. U x n U z , por lo que x V Cabe preguntarse si será cierto el recíproco, es decir, si toda relación de preferencia racional puede ser representada por una función de utilidad.

La respuesta, en general, es no, como veremos posteriormente con un contraejemplo. Sin embargo, si el conjunto X es finito sí se cumple que toda relación de preferencia racional puede ser representada por una función de utilidad, como recoge el siguiente teorema.

Teorema 1. Si las preferencias de un agente sobre X son racionales completas y transitivas , existe una función U de X en R compatible con tales preferencias, es Ɑ y.

Demostración: Demostraremos el teorema en dos etapas. En primer lugar supondremos que nunca hay indiferencia entre dos elementos distintos de X. Posteriormente extenderemos el razonamiento al caso general. El conjunto X está formado por n elementos.

Suponemos que entre dos elementos distintos cualesquiera de X siempre hay preferencia estricta hacia uno de ellos. Se trata de una función de utilidad compatible con la relación de preferencia pues xi Ɑ xj á ibj á U xi b U xj Supongamos ahora que V es cualquier función de utilidad compatible con la relación de preferencia.

Extendamos el razonamiento anterior al caso general. Entre los n elementos de X, tomemos un representante de cada clase de elementos indiferentes entre sí. Sean x1, x2, U es una función de utilidad compatible con la relaⱭ.

f es una función f : {1, 2, Se puede interpretar X como el conjunto de consumo de dos bienes para un agente económico. Vemos que el conjunto X no es finito, por lo que no es aplicable el Teorema 1. En este caso el bien 1 de consumo tiene la prioridad más alta en la determinación del orden de preferencia, tal como ocurre con la primera letra de una palabra en el orden en que aparece en un diccionario.

Cuando la cantidad del bien 1 en las dos cestas de bienes coincide, entonces es la cantidad del segundo bien la que determina el orden de preferencia del consumidor.

Es fácil comprobar que la relación de preferencia lexicográfica verifica las propiedades de completitud y transitividad, por lo que es una relación racional. Proposición 1. La relación de preferencia lexicográfica en X no es representable mediante ninguna función de utilidad.

Demostración: Demostramos la proposición por reducción al absurdo. Supongamos que existe U : X r R, función de utilidad compatible con la relación de preferencia lexicográfica. Como U x1, 2 y U x1, 1 son números reales, existe un número racional r x1 tal que U x1, 2 b r x1 b U x1, 1 Sea xñ1 con x1 b xñ1.

Se verifica que r x1 b r xñ1 , ya que r x1 b U x1, 1 b U xñ1, 2 b r xñ1 Por tanto tenemos definida una función r:RrQ x r r x en donde Q es el conjunto de los números racionales. Dicha función es inyectiva, ya que x1 Ç xñ1 ú r x1 Ç r xñ1. Pero esto nos lleva a contradicción ya que el conjunto de los números reales que es el dominio de la función es un conjunto infinito no numerable, mientras que el conjunto de los racionales que es el conjunto final de la función r es infinito numerable, lo cual es matemáticamente imposible para una función inyectiva.

A continuación veremos en qué condiciones se puede asegurar la existencia de una función de utilidad compatible con una relación de preferencia en conjuntos de consumo de un número dado finito de bienes.

Ɑ una relación de preferencia en X. Sea V 12 Teoría de juegos Definición 1. Para cada n se tiene que xn Ɑ yn. La demostración del teorema se encuentra en MasColell, Whinston y Green Entonces existe una mo. Sea V función de utilidad continua U x1, x2, cia V Proposiciones con significado sobre una función de utilidad ordinal Concluyamos esta sección insistiendo en que sólo tienen significado aquellas proposiciones acerca de una función de utilidad U cuya verdad o falsedad no se altera al sustituir U por una transformación estrictamente creciente de U.

Veamos algunos ejemplos: — «A produce mayor o menor, o igual utilidad que B» tiene sentido. ACTITUDES ANTE EL RIESGO Si bien para algunas aplicaciones es suficiente con disponer de una información ordinal de las utilidades de un agente, en general dicha información es insuficiente.

Por ejemplo, supongamos que en el Ejemplo 1. La información ordinal disponible no nos permite responder a esa pregunta.

Es preciso, por tanto, definir un tipo de escala de utilidad en la que preguntas como la anterior puedan responderse con naturalidad.

En esta sección definiremos la escala de utilidades de Von Neumann-Morgenstern, que es la más sencilla de entre las que permiten definir las preferencias de un agente, no sólo entre opciones puras ciertas o seguras sino también entre loterías o distribuciones de probabilidad definidas sobre dichas opciones puras.

Loterías Supongamos que un agente debe elegir una entre varias alternativas, siendo conocidas de manera objetiva las probabilidades asociadas a las alternativas. En estas condiciones, en teoría de la decisión se dice que estamos en un contexto de elección en ambiente de riesgo. Suponemos, por tanto, que dicho conjunto es finito este supuesto lo hacemos para evitar la excesiva complicación del desarrollo posterior.

En una lotería simple, los resultados que se pueden obtener son ciertos los elementos del conjunto X. En una forma más general de lotería, llamada lotería compuesta, los resultados que se pueden obtener son loterías simples, tal como se define a continuación.

Dada la lotería compuesta L1, L2, j2 p2i! jmLm Ejemplo 1. Ɑ sobre LX, que cumple Se supone que el decisor tiene una relación de preferencia V las propiedades de completitud y transitividad.

Por tanto, suponemos que la relación de Ɑ es racional. A continuación se definen otras propiedades a considerar en la preferencia V Ɑ sobre LX. relación de preferencia V Definición 1.

j } {j à [0, 1]: Lññ V son cerrados. La propiedad de continuidad significa que pequeños cambios en las probabilidades no producen cambios en el orden entre dos loterías.

j L, Lññ; j, 1. j V Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern A continuación se define el concepto de función de utilidad esperada de Von NeumannMorgenstern. Posteriormente se enuncian y demuestran dos proposiciones en las que se presentan importantes propiedades de dichas funciones de utilidad y finalmente se enuncia el teorema de la utilidad esperada.

u2 p2! un pn La siguiente proposición da una condición necesaria y suficiente para que una función con dominio en LX que toma valores en R sea una función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. jm pm i. p2 0, 1, pn 0, 0, rrespondiente a la relación de preferencia V V: LX r R es otra función de utilidad esperada Von Neumann-Morgenstern corresⱭ.

b, para cada L à LX. Demostración: ú Sean U y V funciones de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern definiⱭ. b, para cada L à LX Por ser U función lineal, es continua. El conjunto LX es cerrado y acotado.

Supongamos que L1 Ɑ L. Sea L à LX. Vemos que podemos encontrar aL à [0, 1], tal que L V aLL1! b, para cada L à LX, siendo U una función de utilidad esperada de Von Neumann-MorⱭ.

Veamos que V es otra función de utilidad esperada de genstern correspondiente a V Von Neumann-Morgenstern. Sean m L1, L2, Además, por ser U una representación de V cumple que Ɑ Lñ LV á U L n U Lñ á aU L!

b á V L n V Lñ A continuación se enuncia el teorema de existencia de la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. La demostración del teorema se puede consultar en Mas-Colell, Whiston y Green Formas de representación de un juego 19 Teorema 1. Entonces V admite una representación en forma de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern.

Es decir, existen n valores reales u x1 , u x2 , Cabe entonces considerar loterías representadas por funciones de densidad o por funciones de distribución. Así, sea una lotería en R caracterizada por una función de densidad f.

Sea LX el conjunto de todas las funciones de densidad en R. ä siendo u: R r R tal que u x es la utilidad de la cantidad monetaria segura x, por lo que se supone que la función u es creciente y continua.

Si la lotería en R se caracteriza por una función de distribución F, puede representar tanto distribuciones de probabilidad discretas como continuas en R. LX será el conjunto de todas las funciones de distribución en R. ä En cualquiera de las representaciones, se cumple también el teorema de la utilidad esperada siempre que se cumplan las hipótesis del Teorema 1.

En lo que sigue, y mientras no anunciemos explícitamente otra cosa, supondremos que las preferencias de los agentes cumplen las condiciones del Teorema 1.

Vamos a calcular el valor esperado de L y comparar la utilidad esperada con la utilidad del valor esperado. Suponemos que la función de utilidad u de un agente cualquiera es estrictamente creciente prefiere una renta mayor a una renta menor. Si u es diferenciable, la suposición anterior significa que uñ x b 0, para todo x à R.

Decimos que un agente es averso al riesgo en el intervalo [a, b] si el valor esperado de cualquier lotería en [a, b] es al menos tan preferido como dicha lotería. Si la lotería es al menos tan preferida como su valor esperado, decimos que es propenso al riesgo o amante del riesgo.

Y si es indiferente entre ambas opciones, decimos que es neutral al riesgo. Formas de representación de un juego 21 Teorema 1. El agente es: Averso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es cóncava en [a, b].

Propenso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x n 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es convexa en [a, b]. Demostración: Sean x1, x2, pnxn que es precisamente la utilidad del valor esperado es mayor o igual que p1u x1!

p2u x2! pnu xn que es precisamente la utilidad esperada de la lotería L. Si u es dos veces diferenciable, un conocido teorema del cálculo diferencial asegura que la función u es cóncava en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b]. Por tanto, uññ x m 0 para todo x de [a, b] si y sólo si para el agente el valor esperado de cualquier lotería es al menos tan preferido como la lotería, es decir es averso al riesgo en [a, b].

Análogamente, uññ x n 0 para todo x de [a, b] si y sólo si el agente es propenso al riesgo en [a, b]. pnxn , que es la utilidad del valor esperado de L, es igual a p1u x1!

pnu xn , que es la utilidad esperada de L. Observación 1. La función de utilidad de un agente neutral al riesgo es lineal. La función de utilidad de un agente averso propenso al riesgo es cóncava convexa. Consideremos los tres agentes del Ejemplo 1. Veamos que se confirman para cualquier lotería.

El primer agente prefería el valor esperado antes que la lotería. Es averso al riesgo en [0, ä] Al segundo agente le daba igual el valor esperado que la lotería. Es neutral al riesgo en [0, ä] El tercer agente prefería la lotería antes que el valor esperado. Es propenso al riesgo en [0, ä] Prima de riesgo En términos intuitivos, es la cantidad que un agente averso al riesgo está dispuesto a pagar para librarse del riesgo.

z0 valor esperado menos equivalente cierto. Visualización gráfica Figura 1. z es la prima de riesgo de L. Calculemos sus equivalentes ciertos y sus primas de riesgo.

El equivalente cierto de L para un agente neutral al riesgo es igual al valor esperado. El equivalente cierto de L para un agente averso propenso al riesgo es menor o igual mayor o igual que el valor esperado. La prima de riesgo de L para un agente neutral al riesgo es nula. La prima de riesgo de L para un agente averso propenso al riesgo es mayor o igual a cero menor o igual a cero.

No es casualidad que los pagos que un cliente realiza por una póliza de seguros de automóvil, de incendios, etc. se llamen primas. Las definiciones siguientes intentan cuantificar las ideas anteriores, de modo que sea posible comparar la aversión o propensión al riesgo de dos agentes cualesquiera.

La idea intuitiva es que la curvatura de la función de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa del grado de aversión al riesgo de dicho agente.

Se supone que u es dos veces diferenciable en [a, b]. xuññ x uñ x Proposición 1. En ese caso es neutral al riesgo. d, siendo c b 0, donde a b 0. d, siendo c b 0, donde a a 0. c b Veamos cada una de las dos implicaciones. ax, en donde C es una constante positiva. uñ x c Se demuestra de manera análoga a b.

Algunos comentarios sobre las distintas escalas de medida La escala en que se mide la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern es cardinal intervalo como la de temperatura en grados centígrados.

Tiene sentido decir «la utilidad de A es mayor que la de B» y también «la diferencia de utilidad entre B y C es cinco veces mayor que entre A y C», pero no lo tiene decir «la utilidad de A es doble que la de B» o «la utilidad de A es 5 unidades mayor que la de B». El tipo de escala aplicable para representar una magnitud depende de las características físicas y lógicas de dicha magnitud.

La lista siguiente menciona las escalas más importantes, seguidas de algún ejemplo de magnitud al que se apliquen: Escala Ordinal Dureza A tiene igual o mayor dureza que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble dureza que B». No se ha encontrado, que sepamos, la manera de medir la dureza de los materiales con una escala más rica o elaborada que la ordinal. Escala Cardinal-Intervalo Temperatura A tiene igual o mayor temperatura que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble temperatura que B», pero sí decir que «la diferencia de temperatura entre A y B es doble que entre C y D». Escala Cardinal-Ratio Peso o saldo, sin especificar la unidad de medida A tiene igual o mayor peso o saldo que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «a tiene un peso tres unidades mayor que b, pero sí decir que a tiene un peso doble que b». Tienen sentido todas las sentencias anteriores. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Para introducir la forma extensiva de representación de un juego nos servimos del siguiente juego sencillo.

Aquél a quien le toca jugar puede pasar, o pujar con 20 euros más que el anterior suponiendo que los tiene. Empieza Blanca pasando o pujando con 20 euros. Si un jugador decide pasar, ya no puede pujar en una jugada posterior. Gana el último en pujar, que se lleva el billete.

Si ninguno ha pujado se llevan 25 euros cada uno. Ambos jugadores deben pagar su última puja. Aparte de las reglas es de conocimiento común que cada jugador tiene sólo 60 euros.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos, el jugador 2. Podemos representar la situación descrita en el ejemplo anterior mediante árbol representado en la Figura 1. El árbol anterior tiene un punto inicial o raíz, desde el que se empieza el juego, en este caso la elección de Blanca jugadora 1 entre pasar P o pujar con 20 euros Ello da lugar a dos ramas, una para cada posible elección de Blanca.

La primera rama, a la que se accede si Blanca elige P, a la vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 20 euros Si Carlos decide pasar P , se termina el juego y cada jugador recibe 25 euros, mientras que si decide pujar con 20 euros, el juego termina, llevándose Carlos los 50 euros y teniendo que pagar su puja, por lo que obtiene un beneficio de 30 euros, sin que Blanca tenga que pagar ni recibir nada situación que se recoge en el nodo que lleva asociados los valores 0, Formas de representación de un juego 27 La segunda rama, a la que se accede si Blanca puja con 20 euros, a su vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 40 euros 40 , 20 euros más que la puja de Blanca.

Si el jugador 2 elige P, se acaba el juego, recibiendo Blanca los 50 euros, pero teniendo que pagar los 20 de su puja, sin que Carlos reciba ni pague nada. Si Carlos puja con 40 euros llega el turno de nuevo a Blanca que debe elegir entre pasar y se acaba el juego, con pagos.

Los elementos que definen el árbol del juego son: Los jugadores, que en este caso son la jugadora 1 Blanca y el jugador 2 Carlos. Un conjunto de nodos, los cuales corresponden a situaciones de elección de alguno de los jugadores o de final del juego.

Un conjunto de acciones, que son las que enlazan un nodo con otro, y que corresponden a elecciones de los jugadores. Unos vectores de pagos, cada uno de los cuales está asociado a un nodo de final de juego y que tiene dos componentes, la primera de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 1, y la segunda de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 2 si el juego termina en ese nodo.

El ejemplo anterior es un juego con movimientos sucesivos de los jugadores. Veamos a continuación un ejemplo con movimientos simultáneos, en el que habrá que introducir un nuevo concepto para poder representar el juego por medio de un diagrama.

Si resultan dos caras o dos cruces, el jugador 1 recoge los dos euros, mientras que si hay una cara y una cruz, el jugador 2 se lleva los dos euros. La representación en forma extensiva de este juego se recoge en la Figura 1.

Se dice que estos dos nodos forman un conjunto de información para el jugador 2, puesto que dicho jugador no sabe en cuál de los nodos de dicho conjunto se encuentra. El juego anterior también se puede representar de la siguiente forma equivalente Figura 1. En general, un conjunto de información es un conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador.

Cuando a un jugador le toca jugar desde un conjunto de información el jugador no sabe en cuál de los nodos pertenecientes a dicho conjunto se encuentra. Las condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo conjunto de información son las siguientes: Los conjuntos de información del jugador i à J contienen sólo nodos de decisión del jugador i.

Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador. Las mismas acciones deben estar disponibles para un jugador en cada uno de los nodos de un conjunto de información.

De no ser así, dicho jugador tendría una pista sobre el nodo en que se encuentra, a partir de las acciones que están disponibles en ese nodo.

Veamos a continuación otro ejemplo en el cual uno de los movimientos lo realiza la naturaleza o el azar. Cada uno de los dos jugadores, Blanca y Carlos, deposita un billete de 5 euros en la mesa. A continuación, Blanca toma una carta de la baraja y comprueba cuál es.

Nadie más ve la carta. Ya en el autor inglés Joseph Bertin escribía en su libro de The Noble Game of Chess : «aquel que juega primero se entiende que tiene el ataque ». desde un punto de vista teórico, las tareas de las blancas y las negras en ajedrez son diferentes: las blancas ir por la victoria, las negras por las tablas».

Los estudiosos del ajedrez han debatido por largo tiempo qué tan duradera es la iniciativa del blanco y si, cuando ambos bandos juegan perfectamente, la partida debe acabar en una victoria para las blancas o en tablas.

George Walker escribió en que, «el primer movimiento es una ventaja, pero si es contestado adecuadamente, este primer movimiento es de poco valor».

El punto de vista de que un juego de ajedrez debe acabar en tablas con un juego correcto prevalece. Aunque no puede ser probada, este supuesto es considerado «seguro» por Rowson y «lógico» por Adorján. Tanto Lasker como Capablanca temieron que el ajedrez sufriera una «muerte por tablas» ya que los mejores jugadores empataban cada vez más y más sus partidas.

Lasker sugirió asignar menos de medio punto por un empate, y más de medio punto por ahogar al rey contrario. En la actualidad algunas de las variantes de apertura más agudas han sido analizadas tan profundamente que frecuentemente son usadas como medios para lograr tablas. Por ejemplo, al más alto nivel, las negras con frecuencia usan el gambito Marshall en la Apertura española , una línea en las que las negras sacrifican un peón a cambio de un fuerte ataque, para llegar a un final donde las negras siguen con un peón de menos pero pueden empatar con juego correcto.

En el , los GMs Kiril Georgiev y Atanas Kolev aseguraron que casi lo mismo era verdad en cuanto a la variante peón envenenado de la Defensa Siciliana , a la que se llega luego de 1.

e4 c5 2. Cf3 d6 3. d4 cxd4 4. Cxd4 Cf6 5. Cc3 a6 6. Ag5 e6 7. f4 Db6!?. Dd2 Dxb2 9. Tb1 Da3. Ag5 se ve raramente al más alto nivel porque línea principal de esta variante lleva, con el mejor juego, a un empate por jaque perpetuo.

f4 Db6 8. Tb1 Da3 f5 Cc6 fxe6 fxe6 Cxc6 bxc6 e5 dxe5 Axf6 gxf6 Ce4 Dxa2 Td1 Ae7 Ae2 O-O O-O Ta7 Tf3 Rh8 Tg3 Td7 Dh6 Tf7 Axd1 Da5 Rf1 Dd8 Sin embargo, la evaluación pesimista de Georgiev y Kolev de 6. Ag5 ha sido desde entonces cuestionada, ya que las blancas ha tenido éxito con e5 otra línea crítica en numerosas partidas recientes de alto nivel.

Aunque es un punto de vista muy minoritario, tres destacados maestros de ajedrez del siglo XX afirmaron que la ventaja del blanco debería o podría ser decisiva con un juego perfecto. La afirmación de Adams fue ampliamente ridiculizada.

Adams y sus compinches pueden ser vinculados a la derecha radical del ajedrez. Weaver no se contenta con medianías como la igualdad.

Es todo o nada— lógica derechista, en estado puro». Adams no tuvo éxito en demostrar la validez de su teoría en sus partidas en torneos y encuentros individuales. Al año siguiente de la publicación de su libro, en las finales del Campeonato abierto de ajedrez de Estados Unidos de , sólo logró un empate en sus cuatro partidas con blancas pero ganó sus cuatro partidas con negras.

e4—y las blancas ganan! e4, «¡la partida del blanco está en sus últimos estertores! Más recientemente, el MI Hans Berliner , un ex campeón mundial de ajedrez por correspondencia , afirmó en su libro de El sistema que 1. d4 da a las blancas una gran, y probablemente decisiva, ventaja.

Berliner afirmó que con buen juego las blancas ganan contra la Defensa Grünfeld , la Defensa Benoni , el Gambito Benko y otras no especificadas «principales defensas», y logra por lo menos una gran ventaja en muchas líneas del Gambito de dama declinado.

d4 puedan ser refutadas». Weaver W. Adams fue la primera persona que conocí que efectivamente tenía teorías acerca de como debía ser jugado el ajedrez».

La tesis de Berliner, al igual que la de Adams, ha sido duramente criticada. en todo aspecto relacionado con el ajedrez.

Como se explica más abajo, los teóricos del ajedrez en décadas recientes han continuado el debate acerca del tamaño y la naturaleza de la ventaja de salida, si es que en efecto existe.

Exceptuando a Berliner, han rechazado la idea de que las blancas tienen una victoria forzada a partir de la posición inicial. Muchos también rechazan el tradicional paradigma de que el objetivo de las negras debe ser neutralizar la iniciativa de las blancas y obtener la igualdad.

En , el Gran Maestro Larry Kaufman expresó una opinión más matizada que las de Adams y Berliner, alegando que la iniciativa de la primera jugada siempre puede transformarse en algún tipo de ventaja duradera, aunque no necesariamente decisiva.

Kaufman escribe: «no creo que las blancas tengan una victoria forzada en el ajedrez. Creo sin embargo que ya sea con 1.

d4, el blanco debería ser capaz de obtener algún tipo de ventaja que persista hasta el final. Si el ajedrez se juzgara como el boxeo , con las partidas empatadas asignadas por algún sistema de puntos al jugador que quedó 'más cerca' de ganar, entonces creo que las blancas tendrían en efecto un victoria forzada en teoría».

Empezando en , Adorján ha argumentado en una serie de libros y artículos que «¡Las negras están bien! Escribe: «en mi opinión, la única ventaja obvia de las blancas es que si juegan para tablas, y lo hacen bien, las negras difícilmente pueden evitarlo sin tomar obvios riesgos». ya que ha sacudido nuestra suposición de que las blancas empiezan la partida con alguna ventaja, y revela su naturaleza ideológica".

En uno de los libros de Adorján, el GM Lajos Portisch opina que: «al menos dos tercios de todas las aperturas 'regulares' dan a las blancas una aparente ventaja». Según Portisch, para las negras «la raíz del problema es que muy poca gente conoce cuales son las aperturas en que las negras quedan bien.

Aquellos que encuentran esas líneas no tienen nada que temer, ya que: las negras, en efecto, están bien , ¡pero solo en esas variantes! d4 tienen problemas para conseguir cualquier cosa contra las principales líneas de las eslavas y los jugadores que emplean 1.

e4 encuentran las sicilianas Najdorf y la Sveshnikov particularmente duras». Los autores modernos frecuentemente piensan del papel de las negras términos más dinámicos que meramente tratar de igualar. Rowson escribe que «la idea de las negras tratando de 'igualar' es cuestionable.

Creo que tiene una aplicación limitada en algunas aperturas, antes que ser una receta para las aperturas en general». La revelación de que las negras tienen oportunidades dinámicas y que no necesitan satisfacerse con la mera igualdad fue el momento decisivo de su carrera, dijo».

A veces decimos 'dinámicamente equilibrado' en lugar de 'igual' para expresar el punto de vista de que cualquiera de los jugadores puede salir de las complicaciones con la ventaja. Este estilo de apertura se ha vuelto prevalente en el ajedrez moderno, con campeones mundiales como Fischer y Kasparov como sus más visibles practicantes».

Autores modernos también cuestionan la idea de que las blancas tienen una ventaja duradera. Sostiene que a veces el jugador con la iniciativa la pierde sin una explicación lógica y que «a veces la debes perder, sencillamente. Si tratas de aferrarte a ella, forzando el asunto, tu potencial dinámico se extinguirá y no tendrás la capacidad de enfrentar un vigoroso contraataque ».

Según Rowson, la principal ventaja del blanco es que: «la ventaja del primer movimiento tiene algunas similitudes con el saque en el tenis. Primero en que las blancas pueden conseguir un punto directo por ejemplo con una poderosa novedad en la apertura , tienen más control sobre el ritmo y la dirección del juego, y como en el tenis tienen un segundo saque ya que cuando las cosas van mal su posición generalmente no llega a ser perdedora».

Segundo, las blancas comienzan con alguna iniciativa, aunque Rowson considera a esta una ventaja más psicológica que posicional, «y si es que llega a ser una ventaja posicional depende de la fuerza relativa de los jugadores».

Cuarto, «si las blancas quieren empatar, no siempre es fácil para las negras evitarlo. Esta ventaja es particularmente águda en casos donde hay una posible triple repetición , ya que el blanco puede comenzar la repetición sin comprometerse a empatar y las negras tienen que decidir si cambian la jugada antes de saber si las blancas están haciendo un farol».

Rowson cita como ejemplo de este último fenómeno la bien considerada variante Zaitsev de la apertura Apertura española. Después de 1. e4 e5 2. Cf3 Cc6 3.

Ab5 a6 4. Aa4 Cf6 5. Te1 b5 7. Ab3 8. c3 d6 9. h3 Ab7 d4 te8 inicio de la variante Zaitsev , las blancas pueden repetir jugadas una vez con Cg5 Tf8 esto pone al negro en una situación difícil ya que escoger entre a insistir en la Zaitsev con 12[ Cf3, o b jugar una movida diferente y posiblemente inferior cambiando de Rowson alega que las negras también tienen varias ventajas.

Primero: «La supuesta ventaja del blanco es también un tipo de obligación de jugar para ganar y las negras pueden usar esto frecuentemente para sacar ventaja».

Segundo: «La movida extra del blanco puede ser una carga y a veces las blancas se encuentran en una ligera forma de zugzwang ». Tercero, aunque las blancas inician la partida con la iniciativa si las «negras retienen una posición flexible con buenas posibilidades de reacción esta iniciativa puede ser absorbida y frecuentemente se traslada a las negras».

Cuarto: «El hecho de que el blanco mueve antes frecuentemente le da al negro información útil». Suba escribe: «en términos de la teoría matemática de los juegos , el ajedrez es un juego de información completa y ¡la información de las negras siempre es mayor por una movida!

Rowson también señala que las oportunidades de las negras aumentan significativamente jugando buenas aperturas , que tienden a ser aquellas con flexibilidad y potencial latente, «antes que aquellas que le dan a las blancas objetivos fijos o que tratan de ganar la iniciativa prematuramente».

También enfatiza que «el blanco tiene 'la iniciativa', no 'la ventaja'. El éxito con las negras depende en ver más allá de la iniciativa y pensar en las posiciones en términos de 'potencial'». Se llega a una posición típica luego de 1. c4 c5 2. Cf3 Cf6 3. g3 b6 4. Ag2 Ab7 5.

Cc3 Ae7 7. d4 cxd4 8. Dxd4 d6 9. e4 a6. Cf3 Cf6 2. c4 c5 3. Cc3 e6 4. g3 b6 5. Ag2 Ab7 6. O-O Ae7 7. Td1 a6 b3 Cbd7 e4 Db8 Ab2 O-O Suba escribe de una posición erizo similar: «La posición de las blancas luce ideal.

Es la pura verdad, pero lo 'ideal' tiene por definición un inconveniente —no se puede mejorar». Cd2 Td8 a4 Dc7 De3 Tac8 De2 Ce5 Según Ftáčnik, f4 Ceg4 Tf1 es mejor. f4 Cg6 Cf3 Ahora las negras abren la posición a la manera típica del esquema erizo.

Ftáčnik considera e5 o exd5 preferible. Cxh4 Cxh4 gxh4 Dxf4 dxe6 fxe6 Ftáčnik recomienda Txd8 Txd8 Rh1 Ch5! Dxh5 Dg3 Cd5 Otras movidas provocan jaque mate inmediato: Axb7 Dh3 ; De2 Dxh3 ; Dg4 Axg2.

Txd5 Él creía, tal como lo han hecho otros jugadores y teóricos, que la ventaja del primer movimiento de las blancas, debidamente explotada, debería resultar virtualmente en una victoria forzada.

Esta idea pude no ser tan exagerada como parece. De las 19 partidas que jugué contra Fischer, sólo perdí una con blancas, desaprovechando una victoria forzada, y siete con negras. Contenidos mover a la barra lateral ocultar. Artículo Discusión. Leer Editar Ver historial. Herramientas Herramientas.

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