Carlsen entiende que el ajedrez no se trata únicamente de la habilidad innata, sino de una combinación de talento y un trabajo duro en la preparación antes de cada partida. Él sabe que el estudio riguroso de las aperturas, la compilación de bases de datos y el análisis detallado de partidas anteriores, son fundamentales para comprender las estrategias y las tácticas a emplear durante el juego.

La preparación adecuada le permite anticipar y responder a los movimientos de su oponente con el fin de obtener una ventaja sobre él. En resumen, Carlsen ha demostrado con su brillante carrera que la preparación adecuada es el pilar fundamental para lograr el éxito en el ajedrez.

No se trata de jugar perfectamente, sino de jugar mejor que tu oponente. Explicación La famosa cita de Magnus Carlsen, "No se trata de jugar perfectamente, sino de jugar mejor que tu oponente", refleja la esencia del ajedrez y del pensamiento estratégico.

Carlsen, considerado uno de los mejores jugadores de ajedrez de todos los tiempos, resalta la importancia de superar a tu adversario en lugar de enfocarse en realizar movimientos impecables.

Esta perspectiva demuestra que, a pesar de que el ajedrez es un juego que requiere precisión y cálculo, lo que realmente importa es tener una estrategia sólida y habilidades superiores al oponente.

Es un recordatorio poderoso de que, en cualquier competencia, no es necesario ser perfecto, sino simplemente ser mejor que el rival para alcanzar la victoria. El ajedrez es una lucha entre la voluntad de mi oponente y la mía.

Explicación La cita de Magnus Carlsen, "El ajedrez es una lucha entre la voluntad de mi oponente y la mía", pone de manifiesto la esencia de este juego milenario. En el ajedrez, cada movimiento es un desafío constante entre la estrategia y la capacidad de anticipación de ambos jugadores.

La voluntad de vencer y de aprovechar al máximo las oportunidades se enfrenta a la determinación del rival por obtener la victoria.

Cada partida es un enfrentamiento donde se pone a prueba la mente y la habilidad de ambos contendientes, convirtiéndose en una batalla intelectual donde solo uno puede prevalecer. El ajedrez va más allá de un simple juego de mesa, se convierte en una verdadera lucha de la voluntad humana.

La táctica es lo que la gente llama encontrar buenas jugadas en una posición difícil. Explicación La célebre cita de Magnus Carlsen, "La táctica es lo que la gente llama encontrar buenas jugadas en una posición difícil", revela su reconocimiento y comprensión de la importancia de la táctica en el ajedrez.

Para Carlsen, la táctica no es solo un conjunto de movimientos específicos, sino un proceso dinámico de encontrar soluciones eficientes en situaciones desafiantes. Esta perspectiva demuestra su habilidad para identificar y aprovechar las oportunidades ocultas en una partida, y su capacidad para desarrollar estrategias innovadoras que le han llevado a ser considerado uno de los mejores jugadores de ajedrez de todos los tiempos.

El ajedrez es un juego, una ciencia y un arte al mismo tiempo. Explicación La famosa cita de Magnus Carlsen, "El ajedrez es un juego, una ciencia y un arte al mismo tiempo", resume de manera magistral la naturaleza multifacética de este deporte milenario.

Considerado como uno de los juegos más complejos y desafiantes que existen, el ajedrez combina elementos estratégicos y tácticos propios de un juego de mesa con una profundidad matemática y científica fascinante.

Sin embargo, Carlsen va más allá al destacar el carácter artístico del ajedrez. Cada partida es una obra maestra única y creativa, donde se entrelazan ideas innovadoras, maniobras estéticas y decisiones que apelan a la intuición. En definitiva, la cita de Carlsen nos invita a comprender y apreciar al ajedrez en todas sus dimensiones, como un juego fascinante, una ciencia apasionante y como un arte capaz de inspirar y emocionar a través de sus movimientos llenos de genialidad.

La pasión y la motivación son fundamentales para el éxito en el ajedrez. Explicación En la cita de Magnus Carlsen, el campeón mundial de ajedrez, se destaca la importancia de la pasión y la motivación para alcanzar el éxito en este deporte.

Carlsen reconoce que no basta con tener talento y habilidades innatas, sino que se necesita una dedicación y un entusiasmo constantes por el juego. La pasión por el ajedrez impulsa a los jugadores a aprender y perfeccionar sus estrategias, a enfrentar desafíos y a mantenerse enfocados incluso en los momentos más difíciles.

La motivación, por su parte, les permite superar obstáculos, mantenerse persistentes y nunca rendirse en la búsqueda de sus metas. Carlsen nos recuerda que el éxito en el ajedrez no se alcanza por casualidad, sino que requiere una verdadera pasión y motivación por el juego.

No hay ataque perfecto, solo un mejor movimiento tras otro. Explicación Esta célebre cita del reconocido jugador de ajedrez Magnus Carlsen encapsula la esencia del juego y su enfoque estratégico.

Carlsen, conocido por su habilidad táctica y precisión en el tablero, nos enseña que el ajedrez no se trata de buscar un ataque perfecto, sino de encontrar constantemente el mejor movimiento disponible en cada momento.

En lugar de depender de jugadas infalibles, Carlsen nos insta a concentrarnos en tomar decisiones inteligentes y calcular el siguiente paso con maestría. Esta cita nos inspira a nunca conformarnos con la mediocridad y a perseguir la excelencia en todo lo que hacemos.

En el ajedrez, como en la vida, el éxito viene al esforzarnos por realizar continuamente los mejores movimientos posibles.

La resiliencia es clave en el ajedrez. Si cometes un error, debes aprender de él y seguir adelante. Explicación La resiliencia es un factor fundamental en el ajedrez, tal como lo menciona Magnus Carlsen.

En este juego estratégico, los errores son inevitables, pero lo importante es cómo se manejan y superan. Carlsen enfatiza la importancia de aprender de los errores, ya que son oportunidades de crecimiento y desarrollo. En lugar de lamentarse o frustrarse por una movida equivocada, es imprescindible seguir adelante con la partida, ajustar la estrategia y sacar provecho de la situación.

El ajedrez, al igual que la vida, nos enseña a ser resilientes y a mantenernos en constante aprendizaje, para enfrentar con determinación los desafíos que se presenten. El ajedrez me enseñó a pensar de manera estratégica y a tomar decisiones críticas en cualquier situación. Explicación La cita de Magnus Carlsen "El ajedrez me enseñó a pensar de manera estratégica y a tomar decisiones críticas en cualquier situación" destaca la importancia que este juego de mesa ha tenido en su desarrollo tanto personal como profesional.

El ajedrez es un juego que requiere un análisis cuidadoso de las posiciones y movimientos en el tablero, lo que ha entrenado a Carlsen a pensar de manera estratégica, considerando múltiples opciones y anticipando las posibles consecuencias de cada jugada.

Además, el ajedrez también ha enseñado a Carlsen sobre la importancia de tomar decisiones críticas de forma rápida y efectiva, ya que cualquier error o falta de precisión puede tener un impacto significativo en el resultado final del juego.

Esta habilidad adquirida gracias al ajedrez le ha sido útil en diferentes aspectos de su vida, convirtiéndolo en una persona analítica y capaz de tomar decisiones acertadas en cualquier situación en la que se encuentre. La paciencia es una virtud importante en el ajedrez.

A veces, es mejor esperar y encontrar la jugada perfecta en lugar de apresurarse. Explicación La paciencia es una cualidad primordial en el ajedrez, y Magnus Carlsen lo sabe muy bien. Según el campeón mundial, es esencial esperar el momento adecuado y encontrar la jugada perfecta en lugar de precipitarse.

En un juego en el que cada movimiento cuenta y puede tener consecuencias duraderas, ser capaz de contenerse y observar con calma las posibles opciones es fundamental para alcanzar la victoria. Carlsen nos invita a ser pacientes y estratégicos, a no dejarnos llevar por la prisa y tomar decisiones precipitadas.

En el ajedrez, como en la vida misma, a veces es mejor esperar el momento propicio y actuar con precisión. Nunca subestimes a tu oponente en el ajedrez, siempre pueden sorprenderte.

Explicación La cita de Magnus Carlsen: "Nunca subestimes a tu oponente en el ajedrez, siempre pueden sorprenderte", encapsula la mentalidad necesaria para ser un gran jugador de ajedrez.

En este juego, no importa cuánta experiencia o conocimiento tengas, siempre existe la posibilidad de enfrentarte a alguien que tenga una estrategia o movimiento sorprendentemente brillante.

Carlsen nos recuerda que debemos mantenernos alerta y nunca dar nada por sentado en el tablero de ajedrez. Esta actitud humilde y respetuosa hacia nuestros oponentes nos ayuda a mantenernos concentrados y a estar preparados para cualquier sorpresa que pueda surgir durante una partida de ajedrez.

El ajedrez es una batalla mental, donde el pensamiento lógico y la intuición se entrelazan. Explicación La célebre frase de Magnus Carlsen, "El ajedrez es una batalla mental, donde el pensamiento lógico y la intuición se entrelazan", captura a la perfección la esencia del juego del ajedrez.

Este deporte-ciencia no se trata simplemente de mover piezas sobre un tablero, sino de una intensa lucha cerebral contra el oponente. El pensamiento lógico, basado en el análisis y la evaluación de todas las posibles jugadas y variantes, es fundamental para tomar decisiones estratégicas acertadas.

Sin embargo, la intuición también cumple un papel determinante, permitiendo a los grandes maestros anticipar movimientos y desarrollar ideas creativas. Es esta fusión entre la rigurosidad lógica y la astucia intuitiva lo que hace del ajedrez un juego verdaderamente fascinante y desafiante.

La preparación física es igualmente importante para el rendimiento en el ajedrez. Explicación La famosa cita de Magnus Carlsen, "La preparación física es igualmente importante para el rendimiento en el ajedrez", destaca la importancia de mantener un cuerpo y mente saludables para desempeñarse exitosamente en este deporte mental.

Carlsen, considerado uno de los mejores ajedrecistas de la historia, entiende que el ajedrez no es solo un juego de estrategia y habilidades mentales, sino que también requiere resistencia física y energía. Además, estar físicamente en forma garantiza la capacidad de concentración a largo plazo, la resistencia mental y la posibilidad de tomar decisiones rápidas y precisas durante una partida.

Carlsen nos recuerda que para alcanzar la excelencia en el ajedrez, es fundamental cuidar tanto el cuerpo como la mente. No hay una fórmula mágica para ganar en el ajedrez, solo trabajo duro y dedicación. Explicación La cita de Magnus Carlsen, "No hay una fórmula mágica para ganar en el ajedrez, solo trabajo duro y dedicación", refleja su mentalidad competitiva y su enfoque en el esfuerzo constante.

Carlsen, campeón mundial de ajedrez, reconoce que el éxito en este deporte no se logra simplemente con habilidades innatas o tácticas especiales, sino con dedicación y una mentalidad disciplinada. Esta cita resalta la importancia de trabajar arduamente, aprender de los errores y comprometerse a mejorar constantemente, tanto dentro como fuera del tablero.

Carlsen inspira a los aficionados y a los jugadores de ajedrez a valorar el esfuerzo y la perseverancia como claves para alcanzar la excelencia en este fascinante juego. El ajedrez es un juego de decisiones constantes, donde cada movimiento debe ser calculado y evaluado.

Explicación La famosa cita de Magnus Carlsen que afirma que "El ajedrez es un juego de decisiones constantes, donde cada movimiento debe ser calculado y evaluado", resume de manera precisa la esencia del juego milenario.

En el ajedrez, cada jugada es crucial y debe ser cuidadosamente analizada, ya que una mala decisión puede llevar a consecuencias desfavorables. El cálculo y la evaluación de las posibles jugadas son fundamentales para lograr una estrategia sólida y alcanzar la victoria.

Este juego demanda una mente analítica, capaz de anticipar numerosos escenarios y tomar decisiones en base a la lógica y la objetividad.

Carlsen, reconocido como uno de los mejores ajedrecistas de la historia, nos recuerda con esta cita la importancia de pensar y planificar cada movimiento en el tablero de ajedrez. El ajedrez me ha enseñado a ser humilde en la victoria y resiliente en la derrota.

Explicación La cita de Magnus Carlsen, "El ajedrez me ha enseñado a ser humilde en la victoria y resiliente en la derrota", refleja la profundidad de las lecciones que este juego milenario puede brindar. Como campeón mundial de ajedrez, Carlsen entiende que el éxito no debe alimentar el ego a expensas de otros, sino que debe fomentar la humildad y el respeto hacia los oponentes.

Además, el ajedrez también enseña a lidiar con la derrota de una manera resiliente, a aceptar los errores propios y aprender de ellos en lugar de dejar que la adversidad nos desanime. Estas cualidades son valiosas no solo en el mundo del ajedrez, sino también en la vida cotidiana, donde la humildad y la resiliencia son fundamentales para afrontar los desafíos y crecer como individuos.

El ajedrez es un deporte mental que requiere concentración y control emocional. Explicación Magnus Carlsen, el gran maestro del ajedrez, acertadamente declaró que el ajedrez es mucho más que un simple juego de mesa.

Para él, es un deporte mental que exige una profunda concentración y un control emocional inquebrantable. En cada movimiento, cada partida, se requiere de una mente enfocada y decidida a analizar todas las posibilidades y tomar las decisiones correctas, sin dejarse llevar por impulsos o emociones fugaces.

El ajedrez demanda una habilidad estratégica única, pero también una capacidad de mantener la calma en momentos de presión y tensión.

Por ello, Carlsen reconoce la importancia de cultivar no solo el intelecto, sino también el equilibrio emocional en este fascinante deporte mental.

La belleza del ajedrez está en la combinación de movimientos brillantes y sorpresas estratégicas. Explicación La célebre cita de Magnus Carlsen "La belleza del ajedrez está en la combinación de movimientos brillantes y sorpresas estratégicas" encapsula de manera perfecta la magia y fascinación que rodea a este antiguo juego de mesa.

El ajedrez, más que un simple juego, es un arte en sí mismo donde cada movimiento cuenta y, a medida que la partida avanza, los jugadores deben estar preparados para deslumbrar a su oponente con jugadas ingeniosas y estrategias inesperadas. La combinación de movimientos brillantes no solo demuestra la habilidad técnica del jugador, sino también su capacidad para anticiparse a cada movimiento, abrir nuevos caminos y sorprender a su adversario.

Esta combinación de elementos es lo que convierte al ajedrez en una experiencia apasionante y llena de emoción, en la búsqueda constante de esa jugada que, más allá de su evidente utilidad, logre cautivar por su elegancia y audacia.

La creatividad es esencial en el ajedrez, es la clave para encontrar nuevas ideas y variantes. Explicación La cita de Magnus Carlsen destaca la importancia de la creatividad en el juego del ajedrez.

Él resalta que la creatividad es esencial, ya que es la clave para encontrar nuevas ideas y variantes en este deporte mental. En un juego tan estratégico y complejo como el ajedrez, la capacidad de pensar de manera innovadora y encontrar soluciones originales es fundamental para la mejora del jugador.

La creatividad permite salirse de los esquemas tradicionales, sorprender al oponente y aprovechar las oportunidades que se presentan en el tablero. Luego, los consumidores son divididos racionalizados. Esto es, los consumidores con mayor disposición a pagar compran primero.

Por tanto, algunos consumidores son racionalizados y la firma 2 enfrenta una demanda residual positiva. Establecer una capacidad de producción muy grande es costos.

El problema de la firma viene dado por escoger una cantidad que maximice el beneficio de la empresa. Esto es, a2 cq¯i 6 4 Luego, la maximización de beneficios de la elección de capacidad debe satisfacer que a2 q¯i 6 4c Luego, analizamos la segunda etapa, donde la firma escoge precio para las capacidades que satisfacen la inequidad anterior.

A esto se le conoce como el market-clearing price. Con este precio se satisface toda la demanda del mercado. En un modelo de capacity-then price game con una racionalización eficiente de consumidores y con demandan lineal y costos marginales constantes, la capacidad elegida es igual a la de un modelo standar de competencia a la Cournot.

Competencia en precios con bienes diferenciados: Modelo de Hotelling Supuestos del modelo: Existen 2 firmas que venden dos productos diferenciados. Las firmas se posicionan en los extretmos de una recta de intervalo [0,1]. x es la posición del consumidor.

y pi es el precio que cobra la firma i. supongamos que al consumidor sólo le interesa comprar una unidad del bien i. Por ejemplo, unidades adicionales del bien no le reportan mayor nivel de utilidad.

Firma 1 Firma 2 0 1 X Figura 2: Representacion grafica del modelo de Hotelling En la figura, representamos al consumidor indiferente como X̂.

Es decir, el consumidor que está justo en medio entre las dos firmas y está indiferente entre comprar a la firma 1 o a la firma 2.

Recuerde que las firmas son simétricas y están escogiendo precio. Mientras mayor sea τ , mayor será la diferencia de productos, es decir, mayor es el mark up de la empresa.

En otros palabras, a mayor diferenciación, mayor es el poder de mercado. Una variante de este modelo es donde el consumidor está fijo en una posición y las empresas se mue- ven para capturar una mayor demanda. Imagine, por ejemplo, que usted está en la playa, y en cada extremo de la playa hay un vendedor de helados con un carrito.

Si el vendedor de la derecha se corre un poco hacia el centro, entonces le restará demanda al vendedor de la izquierda. Si usted esta justo en el centro estaba indiferente entre comprarle al vendedor de la izquierda o al vendedor de la derecha, pero ahora el vendedor de la derecha está más cerca de usted, por lo que usted prefiere comprarle al vendedor de la derecha.

Como el vendedor de la izquierda ahora enfrenta una demanda menor, también decide correrse un poco hacia el centro, a fin de recuperar la demanda que le fue quitada. Naturalmente, todas las personas que quedan desde los vendedores de helado hacia los extremos de la playa prefieren comprar al vendedor más cercano; es decir, si el vendedor de la derecha se corre un poco hacia el centro, las personas que quedan a la derecha del vendedor, prefieren comprarle a él realmente no tienen otra opción, por que sólo hay dos vendedores y este sigue estando más cerca.

Los vendedores continúan en esta dinámica y el equilibrio del juego se encuentra cuando ambos vendedores se posicionan justo en el centro.

De esta forma, todos los consumidores que están a la derecha, le compran al vendedor de la derecha y todos los consumidores que están a la izquierda le comprar al vendedor de la izquierda.

En Ciencia Polı́tica existe una aplicación del modelo de Hotelling y se conoce como El Teorema del Votante Mediano. Imagine que los vendedores de helados son candidatos y los consumidores son vo- tantes.

Luego, a medida que los candidatos se van acercando al centro le van robando votantes al otro candidato. Si asumimos que los votantes se distribuyen de forma normal5 , entonces la mayorı́a de los votantes se concentran en el centro.

Cuando analizamos el modelo de Hotelling desde el posicionamiento de las empresas, podemos rescatar la existencia de dos efectos 1. Efecto directo: La demanda de la firma 1 aumenta en la medida que se posiciona más cerca de la firma 2.

Efecto estratégico: Mientras más cerca están las firmas, mayor es la competencia en precios. Por tanto, si la competencia en precios es fuerte, las firmas tienen a alejarse y diferenciar sus productos. El Problema de los Recursos Comunes Un bien común es aquel que es rival pero no excluyente.

Rival quiere decir que su consumo por parte de uno, disminuye la posibilidad de consumo por parte de otros. No excluyente implica que no se puede evitar que los otros consuman ese bien.

Por ejemplo, si estamos en una cena y sobre la mesa hay una botella de vino, mientras más vino tomo yo, menos vino puede tomar el resto, sin embargo yo no puedo evitar que el resto tome vino. El ejemplo históricamente más conocido de bien común es el de los ejidos, tierras de pastos propiedad de los habitantes de una determinada localidad.

En general, la consecuencia de que un recurso sea común es que puede sufrir una sobreexplotación. Ello también ocurre en recursos naturales de libre acceso como los recursos de pesca en aguas inter- nacionales que estén abiertos a cualquier empresa de pesca. Modelo simple: Un jugador En este caso un jugador debe administrar un bien privado que se comporta como recurso común.

Su- pongamos que un ganadero dispone de un pastizal al que llevar sus vacas. El costo de llevar cada vaca es de c. Por otra parte, el valor o utilidad v que obtiene de cada vaca depende del número de vacas M que envı́a al pastizal obsérvese que si envı́a solamente una, podrá comer lo que quiera y volverá sana y con mucho peso, mientras que si envı́a muchas no habrá comida para todas, y volverán débiles y flacas.

Bien común con dos jugadores En este caso, son dos los ganaderos que comparten el pastizal al que llevar sus vacas. El primero, J1 , lleva m1 unidades y el segundo, J2 , lleva m2.

A diferencia del caso con un jugador y un bien privado, la respuesta a estas preguntas contiene un elemento estratégico, pues cada ganadero influye con sus decisiones en el rendimiento que el otro puede obtener del pastizal; es decir, existe interacción estratégica.

Para simplificar el problema, supongamos que las vacas son perfectamente divisibles. Bien común con n jugadores Supongamos ahora que, en vez de dos jugadores, existen n. El costo de llevar cada vaca a pastar es de c. La utilidad para el ganadero i viene dada por: ui mi , m2 , De la condición de primer orden podemos extraer la siguiente interpretación.

Ası́ pues, en el equilibrio al usar una unidad más, Ji compensa exactamente con dicha rentabilidad positiva directa la rentabilidad negativa indirectamente ocasionada al usuario Ji y sólo a él. Además, al igual que en el oligopolio a la Cournot, existe una externalidad negativa creada entre los usuarios del recurso común al decidir la intensidad de su explotación de dicho recurso.

Considere un modelo con n jugadores pero sin asumir una forma funcional para la función de valor v M. Las funciones de ganancias son: u m1 , Supondremos que las variables m1 , m2 , Por tanto, la sobreexplotación se produce cuando el número n de usuarios del recurso es mayor que 1, y se agrava conforme dicho número aumenta.

Estratégicos Sustitutos y Estratégicos Complementarios Los concepto de estratégicos sustitutos y estratégicos complementarios se refieren a la dirección de la reacción de las empresas, es decir, a las funciones de mejor respuesta de las empresas.

Complementos Estratégicos Sea πi xi la función de beneficios de la firma i, donde xi es la variable estratégica que escoge, la firma i. Esto es, precio o cantidad.

Complementos estratégicos implica que las funciones de mejor respuesta tienen pendiente positiva. Si la variable de elección de la empresa son complementos estratégicos, y el aumento de un parámetro exógeno en el mercado produce un aumento del ingreso marginal, entonces el aumento de este paráme- tro produce un aumento en la elección estratégica de equilibrio.

La competencia en precios a la Bertrand es un ejemplo de estratégicos complementarios. Es decir, si la firma 1 aumenta el precio, la firma dos reacciona aumentando el precio.

Esto se puede observar en la pendiente positiva de la función de reacción de las firmas. Sustitutos Estratégicos En el caso de los estratégicos sustitutos, si la derivada cruzada es negativa, entonces la función de mejor respuesta de la firma tiene pendiente negativa.

Es decir, si la derivada cruzada es menor a cero, la función de reacción de la firma es estratégico sustituto. Un bien puede ser complementario, y la función de reacción de la empresa puede ser estratégico sustituto.

Es decir, si la firma 1 aumenta la cantidad de producción, la firma dos reaccionará disminuyendo su cantidad de producción. Esto es fácilmente observable en la función de reacción de la empresa, donde la cantidad de producción de la otra firma aparece restando. Estratégias Mixtas El concepto de solución equilibrio de Nash EN , tal como se ha definido, tiene una dificultad muy importante ya que su existencia no está garantizada, ni siquiera en juegos tan sencillos como los juegos finitos.

Por ejemplo, el juego de las monedas cara o sello carece de EN en estrategias puras. Si ampliamos el concepto de estrategia, el conjunto de equilibrios de Nash se amplı́a también, de tal modo que podremos afirmar que todos los juegos finitos poseen al menos un EN. Para ello, debemos incorporar la posibilidad de estrategias mixtas.

Hasta ahora hemos utilizado la palabra estrategia para referirnos a un plan completo de acciones ciertas de cada jugador. En el caso de juegos estáticos con información completa, dicho plan se reduce a elegir una, y sólo una, de las acciones disponibles.

Por ejemplo, en el juego de las monedas cara o sello las únicas estrategias de cada jugador son jugar Cara y jugar Cruz. A tales estrategias las hemos denominado estrategias puras.

La ampliación del concepto de estrategia consiste en permitir que los jugadores no sólo puedan elegir entre acciones ciertas y concretas, sino que también puedan seleccionar acciones aleatorias, es decir, puedan tomar acciones inciertas, que asignan distintas probabilidades a las distintas acciones ciertas.

A las estrategias que deciden de manera aleatoria sobre acciones ciertas se las denomina estrategias mixtas. Consideremos el siguiente juego. J2 Derecha Izquierda Derecha 0, 0 1, -1 J1 Izquierda 1, -1 0, 0 En este juego, existen dos jugadores, el espacio de estrategias de cada jugador es {derecha, izquierda}, y si se observa bien es un juego de suma cero, es decir, lo que gana uno es lo que pierde el otro.

El rasgo distintivo de este juego es que a cada jugador le gustarı́a adivinar la jugada del otro jugador y que el otro no adivinara la suya. En cualquier jugo en el cual a cada jugador le convenga adivinar la jugada del otro y que el otro no adivine la suya, no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras, porque la solución de tal juego incluye necesariamente un elemento de incertidumbre sobre lo que harán los jugadores.

Para resolver este juego debemos aplicar estrategias mixtas que entendemos como la incertidumbre de un jugador respecto a lo que otro jugador hará. Formalmente; para el jugador i, una estrategia mixta es una distribución de probabilidades sobre las estrategias Si 7.

Considere la siguiente matriz con la distribución de probabilidades de cada jugador. Formalicemos el análisis anterior. Se interpreta σi como la estrategia consistente en jugar la estrategia pura s1i con probabilidad σi1 , s2i con probabilidad σi2 , P Sea 4 Si el conjunto de estrategias mixtas del jugador i, indicando que el conjunto de estrategias mixtas de un jugador está formado por todas las loterı́as sobre Si.

Entre las estrategias mixtas están aquellas que asignan probabilidad 1 a una de las estrategias puras y probabilidad cero a todas las demás. Por tanto, toda estrategia pura es también estrategia mixta: ası́ la estrategia pura sji se puede identificar con la estrategia mixta 0, La ampliación del concepto de estrategia para dar cabida a las estrategias mixtas supo- ne además convertir en estrategia a toda combinación lineal convexa de al menos dos estrategias puras.

La definición del equilibrio de Nash cuando permitimos la existencia de estrategias mixtas no es más que una extensión del concepto visto para estrategias puras. Téngase en cuenta que una estrategia mixta no es más que una loterı́a sobre estrategias puras y que la función de pagos o ganancias es lineal, para cada jugador, en las probabilidades de sus distintas estrategias puras.

Por tanto, el pago esperado para un jugador de una estrategia mixta, suponiendo fijas las estrategias de los otros jugadores, resulta ser una combinación convexa de los pagos de las estrategias puras contenidas en dicha estrategia mixta, y en consecuencia, la ganancia esperada de una estrategia mixta tiene como lı́mites inferior y superior las ganancias mı́nima y máxima de las estrategias puras de dicha estrategia mixta.

Un perfil de estrategias mixtas es un equilibrio de Nash si y sólo si para cada jugador, todas las estrategias puras contenidas de su estrategia mixta son una respuesta óptima a la combinación de estrategias de equilibrio del resto de los jugadores. Esto significa que las estrategias mixtas de equilibrio asignan una probabilidad estrictamente positiva sólo a aquellas estrategias puras que son respuesta óptima a las estrategias del resto de jugadores.

De ello se deduce que una estrategia mixta es respuesta óptima a estrategias puras o mixtas dadas, sólo si sus estrategias puras lo son también.

En consecuencia, las estrategias puras soporte de una estrategia mixta de equilibrio producen ganancias iguales.

En efecto, si un jugador tiene una estrategia mixta σi que es respuesta óptima a una combinación de estrategias del resto de jugadores, entonces cualquier estrategia pura contenida en σi o cualquier estrategia mixta que se pueda formar con algunas o todas las estrategias puras de dicho conjunto, son también respuestas óptimas.

Juegos Dinámicos con información completa y perfecta Los juegos estáticos son un caso particular de juegos dinámicos donde los jugadores toman decisiones de forma simultánea, o bien, donde ningún jugador conoce la decisión que toma el otro jugador.

En el caso de los juegos dinámicos o secuenciales se especifica el tiempo en que cada jugador toma una decisión.

Aun ası́, mantenemos los supuestos de información completa, es decir, se conocen los pagos asociados a cada acción, e información perfecta, es decir, se conoce la historia de todo lo que se ha jugados en el pasado.

Para representar un juego en forma extensiva, debemos identificar los siguientes aspectos: 1. Quiénes son los jugadores.

Cuándo tiene que jugar cada jugador. Qué cosas puede hacer cuando le toca jugar; acciones. Qué sabe dicho jugador, cuando le toca jugar, acera del desarrollo previo del juego. Cuáles son los pagos esperados de cada jugador para cada posible desarrollo del juego. La representación en forma extensiva de un juego finito se realiza mediante un árbol constituido por ramas y nodos.

El nodo inicial representa el comienzo del juego y no es precedido por ningún otro. Los nodos finales o terminales representan el final del juego.

Los nodos intermedios pueden ser nodos de azar, que representan una jugada del azar o la naturaleza, o nodos de decisión, que representan una jugada de decisión de uno de los jugadores.

En los nodos terminales se informan los pagos asociados a cada jugador. El primer pago corresponde al jugador que comienza jugado, y el segundo pago al jugador que juega en segundo lugar. De tales vectores de pagos puede decirse que son los resultados del juego, interpretando aquı́ la palabra resultados como las consecuencias en términos de utilidad del juego.

Los conjuntos de información permiten representar el conocimiento que cada jugador tiene en el momento de decidir en un nodo del desarrollo previo del juego.

Una estrategia pura de un jugador es un plan de acción completo. Especifica una acción factible de dicho jugador para cada uno de sus conjuntos de información. Un perfil estratégico es un vector de estrategias, una por cada uno de los jugadores. Todo camino que, siguiendo las ramas del árbol, conduce desde el nodo inicial a un nodo terminal es una senda, resultado o trayectoria posible del juego.

Cada vez que se juega efectivamente un juego se recorre uno, y sólo uno, de los desarrollos posibles cuál sea este desarrollo depende de cómo hayan jugado los jugadores y de qué resultados se hayan producido en las jugadas de azar.

Ası́ pues, todos los desarrollos posibles del juego han de estar a la vista en el árbol del juego, y hay tantos como nodos terminales. Y decimos que G es de información perfecta si cada conjunto de información de cualquiera de sus jugadores es unitario.

Si, por el contrario, existe un jugador con algún conjunto de información no unitario, decimos que el juego G es de información imperfecta. En otras palabras, un juego es de información perfecta que todos los jugadores conocen con precisión lo que se ha jugado anteriormente.

Un juego tiene información imperfecta si, al menos, un jugador no conoce la historia del juego. Algunos juegos de salón famosos, como el ajedrez y las damas, son juegos de información perfecta, mientras que los juegos de cartas no suelen serlo cada jugador desconoce, al menos parcialmente, las cartas de los demás, es decir, desconoce el resultado de algunas jugadas de azar, y ello le impide saber, en el momento de realizar su jugada, en qué nodo se encuentra.

Sin embargo, una competencia dura, por ejemplo una guerra de precios, harı́a que ambas empresas se quedaran sin beneficios. La representación de este juego en su forma extensiva serı́a de la siguiente forma: D       Guerra de precios Competir     En este juego, las estrategias de la firma desafiante son Entrar y No entrar, y las de la firma incum- bente son Competir y Guerra de Precios.

Aun- que ambos EN parecen razonables a la vista de la matriz de pagos aquı́ representada, veremos que el primero de ellos es más razonable que el segundo si analizamos ambos en su desarrollo temporal.

En ese caso sabemos que a cualquiera de los jugadores le interesa atenerse a su estrategia particular en dicho perfil, siempre que el otro haga lo mismo, ya que este perfil es un EN.

Todo se conforma al sentido común en este caso y, a la vista de este razonamiento, los jugadores confirman su interés en no desviarse unilateralmente de ese desarrollo previsto. En efecto, Competir duro es una respuesta óptima de la firma incumbente a No entrar desde la perspectiva del juego global, pero no lo es si nos situamos en el nodo de decisión en que la firma incumbente le toca jugar.

Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos Cada juego en forma extensiva puede representarse en forma normal o estratégica donde imaginamos a los jugadores escogiendo simultáneamente las estrategias que pondrán en práctica.

Esa representación en forma estratégica del juego original en forma extensiva consiste simplemente en enumerar, para cada jugador, todas sus estrategias, e indicar, para cada perfil de estrategias, los pagos que correspon- derı́an a cada jugador si el juego se desarrollara de acuerdo con dicho perfil estratégico.

Las jugadas de azar o juegos de la naturaleza, se tienen en cuenta calculando los correspondientes pagos espera- dos. Se dispone ası́ de un esquema de representación matricial, o bimatricial en el caso de dos jugadores. Este juego en forma normal puede considerarse una especie de resumen estático del juego dinámico original.

Es cierto que al representar en forma normal un juego que originalmente estaba en forma extensiva puede perderse algo y en general se pierde de la información original del juego, pero aun ası́ dicha representación puede ser útil para el análisis del juego, ya que pone a nuestra disposición todos los instrumentos de análisis del juego, y en particular los conceptos de dominación de estrategias, de dominación de Pareto, de estrategias mixtas y de equilibrio de Nash.

La estructura temporal de un juego dinámico con información completa obliga a cada jugador a tener en cuenta que sus decisiones en cada momento influyen en las posibilidades y pagos posteriores para él y para los demás, y que al mismo tiempo las decisiones futuras previsibles suyas y de los demás condicionan sus decisiones presentes.

Aparece ası́ un elemento de vital importancia, la credibilidad que se puede dar a las decisiones futuras a la hora de determinar las decisiones presentes, es decir, la credibilidad de las posibles amenazas o promesas que se pueden plantear sobre el comportamiento futuro para condicionar el comportamiento presente de los jugadores.

Un Equilibrio de Nash Per- fecto en Subjuegos representa, para el caso de los juegos dinámicos con información completa, una adecuación y una mejora con respecto al equilibrio de Nash, precisamente porque tiene en cuenta ese elemento de credibilidad antes mencionado.

Un EPS sobrevive a amenazas no creı́bles. Puesto que todo juego en forma extensiva puede representarse en forma estratégica una vez identifi- cadas las estrategias de todos los jugadores, podemos hacer una propuesta de solución de un juego en forma extensiva, que consistirı́a simplemente en el conjunto de los equilibrios de Nash de su represen- tación en forma estratégica.

Ahora bien, puesto que sabemos que se pierde información al traducir a forma estratégica la forma extensiva de un juego, podrı́a suceder que algunos o todos los EN encontra- dos fuesen razonables desde una perspectiva estática del juego, pero no lo fuesen desde la perspectiva dinámica que tiene en cuenta detalles omitidos en la forma estratégica.

D       Guerra de precios Competir     El mismo juego, los podemos representar en su forma estratégica o normal. En este juego, las estra- tegias de la firma desafiante son Entrar y No entrar, y las de la firma incumbente son Competir y Guerra de Precios.

En efecto, la Guerra de Precios es una respuesta óptima de la firma incumbente a No entrar desde la perspectiva del juego global, pero no lo es si nos situamos en el nodo de decisión en que la firma incumbente le toca jugar.

Consideremos ahora la siguiente situación. Luego, la representación en forma extensiva de este juego serı́a: Hay 4 nodos de decisión, que forman tres conjuntos de información, dos de ellos unitarios, y hay 5 desarrollos posibles.

La representación de este juego en forma normal serı́a: Luego, los EN en estrategias puras son [ Entrar, A , B], [ No entrar, A , A] y [ No entrar, B , A].

Parece natural pensar que los criterios de actuación que les guı́en a partir de ese momento coincidirán con los que tenı́an antes de iniciar el juego. El nodo x es el conjunto de información unitaria.

Algunos autores consideran el propio juego G como un subjuego. Esto es una conversión, pero algunos autores pueden diferir.

Si G es de información perfecta, cualquier parte que comience en un nodo de decisión y contenga todos los nodos que le siguen es un subjuego debido a que todos los conjuntos de información son unitarios. Un subjuego puede empezar en un nodo de azar, porque consideramos que dicho nodo es un conjunto de información unitario.

Los juegos estáticos representados en forma extensiva tienen sólo un subjuego, que es el propio propio, ya que el único conjunto de información unitario que tienen es el nodo inicial. El Premio Novel de Economı́a, Reinhard Selten, propuso en el concepto de Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos.

Sea G un juego en forma extensiva y s un perfil de estrategias G que es un EN, decimos que s es un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuego EPS de G si la restricción de s a cualquier subjuego de G es un EN de dicho subjuego.

Un EPS es una mejor solución que un EN porque, basándose en el criterio de la credibilidad, des- carta los equilibrios de Nash basados en amenazas no creı́bles o promesas no sostenibles es decir, proposiciones que no serán cumplidas dado el desarrollo temporal del juego.

Al exigir respuestas óptimas en cada punto que sea inicio de un subjuego, el concepto de EPS es un paso en la puesta en práctica del principio de racionalidad secuencial, según el cual la estrategia en el equilibrio de cualquier jugador ha de ser una respuesta óptima, en cada punto del juego sea o no sea el inicio de un subjuego, y esté o no esté en la trayectoria de dicho equilibrio , a las estrategias del resto de jugadores.

Si G es un Juego dinámico finito número finito de jugadores, cada uno de ellos con un conjunto finito de estrategias , entonces existe un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de G. Puede ocurrir que no exista ningún EPS en estrategias puras, lo que implicarı́a que alguna o todas las estrategias que constituyen ese EPS que ha de existir, sean estrategias mixtas.

Inducción hacia atrás En los juegos dinámicos con información completa y perfecta, existe un algoritmo llamado inducción hacia atrás8 que permite identificar con claridad, y hallar de manera sistemática, los EPS del juego. Éste consiste en racionar por etapas desde el final del juego hacia el principio.

Esto es: Dado un juego G finito en forma extensiva con información completa y perfecta, para resolver mediante un algoritmo de inducción hacia atrás debemos: 1. Se identifican todos los subjuegos que se producen en último lugar es decir, aquellos que co- mienzan en los nodos de decisión que sólo preceden a nodos terminales.

Estos subjuegos tienen un único jugador, y su EN es por definición la acción óptima de dicho jugador. A continuación se elimina cada uno de esos subjuegos, salvo su nodo de comienzo, y se considera que dicho nodo pasa a ser nodo terminal del juego global, y se le atribuyen los pagos que se habrı́an hecho efectivos de haberse jugado la acción óptima correspondiente a ese nodo.

De esta manera se han podado las últimas ramas del árbol del juego global inicial, y nos encontramos con un árbol más corto. Se repite con el árbol reducido lo dicho en la etapa anterior, y se continúa con este proceso hasta que se llega al nodo inicial del juego de partida.

Si en algún nodo de decisión hay varias acciones óptimas, el proceso sólo cambia en el hecho de que habrı́a que considerar todas las posibilidades.

Es decir, habrı́a que formar tantos árboles reducidos para la etapa siguiente del análisis anterior en el tiempo como combinaciones hubiera de acciones óptimas en la etapa actual.

Al final, obtendrı́amos varios resultados perfectos en subjuegos posibles y varios equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, uno por cada proceso de poda diferente.

Si existe la posibilidad de que en algún nodo de decisión haya un número infinito de acciones, pero manteniendo finita la longitud de cualquier desarrollo posible del juego, el proceso sigue siendo válido siempre que, en cada nodo de decisión, exista alguna acción factible óptima.

Por ejemplo, si dos personas deben decir cómo repartirse una torta, donde el jugador 1 ofrece n al jugador 2 y se queda con 1-n. Otro ejemplo es el ajedrez.

Éste es un juego de información completa y perfecta, pero dado el gran número de combinaciones posibles, resulta prácticamente imposible utilizar el algoritmo de inducción hacia atrás.

Teorema: Cada juego finito con información completa y perfecta G tiene un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos EPS en estrategias puras que se obtiene por el método de inducción hacia atrás. Además, si ningún jugador tiene más de una acción óptima en cada nodo de decisión, tal EPS es único.

Revisemos el siguiente ejemplo. Considere un juego donde el paı́s A decide si invadir al paı́s B y el paı́s B decide si pelar o rendirse. La Representación de este juego en forma extensiva serı́a de la siguiente forma: Pelear 7, 2 Paise B Invadir Pais A Rendirse 9, 6 No invadir 8, 8 Represente en forma estratégica o normal de este juego serı́a: Nótese que un análisis estratégico del juego muestra que existen dos equilibrios de Nash: { No invadir, Pelear ; Invadir, Rendirse }.

El Modelo de Duopolio de Stackelberg En , el economista alemán Heinrich Freiherr von Stackelberg propuso un modelo dinámico de duopolio en el cual una empresa dominante o lı́der decide primero y una empresa subordinada o seguidora decide en segundo lugar.

Juego Repetidos al Infinito En un juego repetido con un horizonte finito las amenazas o las promesas creı́bles sobre el com- portamiento futuro pueden influir en el comportamiento presente. Lo mismo no ocurre cuando un juego es repetido con un horizonte infinito.

En este caso, si un juego G tiene un único equilibrio de Nash con un horizonte finito, en un horizonte infinito pueden existir muchos resultado perfectos en subjuegos en los que ninguno de os resultados en cada etapa sea un equilibrio de Nache del juego G.

En un juego repetido con un horizonte finito no existen incentivos a desviarse del equilibrio de Nash. Luego, el equilibrio de Nash en casa subjuego es el mismo. En un juego repetido al infinito, los ju- gadores tienen incentivos a desviarse del equilibrio de Nash, y por tanto, el equilibrio perfecto en subjuegos puede diferir del equilibrio de Nash.

Por ejemplo, si dos empresas compiten en un mercado y el equilibrio de Nash es producir la cantidad de Cournot, las empresas que interactúan de forma infinita9 pueden desviarse de este equilibrio y coludirse o formar un cartel que les permita maximizar sus beneficios actuando de forma conjunta como si fueran un monopolio.

Para desarrollar este tipo de modelo, es necesario calcular el valor presente de los beneficios futuros que traerı́a la cooperación entre las empresas. Luego decimos que el valor presente de cooperar debe ser mayor al valor presente de competir o desviarse de la cooperación y volver hacia al equilibrio de Nash.

Para ello, debemos evaluar el factor de descuento con que las empresas valorizan sus ingresos futuros. Suponemos que existe un juego inicial, o stage game, que llamamos G el cual es simultáneo y se man- tiene a lo largo de todo el periodo de interacción.

Como el juego es simultáneo, cada jugador toma una decisión sin saber la acción que están escogiendo los otros jugadores. Los beneficios que percibe cada jugador es la suma de los beneficios de cada periodo producto del tipo de interacción que se haya generado.

Esto presenta un problema ya que la suma de los pagos de cada periodo al infinito es desconocida. Sin embargo, introducimos el factor de descuento como una progresión geométrica repetida al infinito, la cual nos permite conocer el beneficios presentes.

Por ejemplo, la vida de las empresas es supuestamente muy larga, trascendiendo generaciones en muchos casos, por lo tanto, como no es posible determinar el fin de la interacción con otras empresas, se dice que es de horizonte infinito.

Suponga que en un mercado existen dos firmas iguales, dichas firmas compiten en cantidades, pero ellas creen que podrı́an estar mejor si se coluden, para lo cual, cada firma establece la siguiente estrategia: una firma va a decidir cooperar en el periodo t siempre y cuando la otra firma haya decidido cooperar en el periodo t - 1, en caso de que la otra firma no haya cooperado se desvı́e del acuerdo en el periodo t - 1, la firma jugará para siempre la cantidad de competencia en cantidades.

La estrategia planteada es una estrategia severa, pues cuando existe un desvı́o se acaba la posibilidad de cooperación para siempre, por lo cual, aunque existen infinitos casos diferentes pues la competencia es por infinitos periodos , solo dos casos son relevantes de analizar.

Cuando una firma se desvı́a en el primer periodo todos los demás casos, i. Esto, permite la posibilidad pero no la certeza , de lograr acuerdos cooperativos cuando en un juego finito no podrı́an darse.

Que exista la cooperación dependerı́a de varios factores, entre ellos el factor de descuento δ, es decir, la ponderación que se le da a los pagos futuros. Juegos Dinámicos con Información Completa pero Imperfecta La información perfecta dice relación con el conocimiento que tienen los jugadores respecto de cómo se ha desarrollado el juego hasta el momento en el que les toca jugar.

En ciertas situaciones a un jugador le puede corresponder jugar sin que sepa qué han hecho los otro jugadores previamente. Una generalización del algoritmo de inducción hacia atrás permite resolver juegos con Información Completa pero Imperfecta, es decir, un procedimiento para determinar los EPS cuando existen sub- juegos propios con conjuntos de información no unitarios con varios nodos de decisión para al menos un jugador.

Dado un juego G finito en forma extensiva con información completa, pero no necesariamente perfecta, un algoritmo de inducción hacia atrás generalizado es: 1.

Se identifican todos los subjuegos que se producen en último lugar es decir, aquellos que co- mienzan en los nodos de decisión lo más cercanos posible a los nodos terminales. Estos subjuegos pueden tener uno o varios jugadores. Se calculan los EN de dichos subjuegos.

Si sólo existe un único EN en estrategias puras en cada subjuego, se elimina cada uno de esos subjuegos, salvo su nodo de comienzo que es reemplazado por el nodo terminal del juego global al que se habrı́a llegado de haberse jugado el perfil EN correspondiente a ese subjuego, y se le atribuyen los pagos de dicho perfil.

De esta manera se han podado las ramas del árbol corres- pondientes a los subjuegos finales del juego global inicial, y nos encontramos con un árbol más corto.

Se repite con el árbol reducido lo dicho en las etapas anteriores, y se continúa con este proceso hasta que se llega al nodo inicial del juego de partida. Acabado el proceso, tendremos unos pagos asociados al nodo inicial del juego, y unas ramas del árbol señaladas como componentes de los EN de cada subjuego.

Pues bien, el único desarrollo del juego camino desde el nodo inicial hasta un nodo terminal consistente en que las ramas señaladas son el único resultado perfecto en subjuegos, y los pagos asociados al nodo inicial son los que corresponderı́an a ese desarrollo del juego. Por otra parte, el único perfil de estrategias, en el que la estrategia de cada jugador consiste en jugar la acción indicada en cada uno de sus conjuntos de información, es el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.

Teorema: Si un juego admite la inducción hacia atrás generalizada, y todos y cada uno de sus subjuegos finales tanto en el juego global como en los reducidos admiten un EN único, el resultado mediante inducción del juego es el único resultado perfecto en subjuegos y las estrategias generadas a partir de las acciones tomadas por cada jugador en cada uno de sus conjuntos de información consti- tuyen el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.

El hecho de que un jugador mueva primero no tiene implicancias estratégicas sobre la decisión del otro. Cualquier juego estático puede ser entendido como un juego dinámico de información incompleta.

Cuando a un jugador le corresponde jugar y no sabe con precisión lo que ha ocurrido antes, el conjunto de nodos en los cuales podrı́a estar ubicado lo se conoce como el conjunto de información. Considerando la matriz de pagos que se muestra a continuación, la representación en forma extensiva de este juego serı́a de la siguiente forma: Jugador 2 Confesar Callar Confesar 1, 1 5, 0 Jugador 1 Callar 0, 5 4, 4                  5.

Juegos Estáticos con Información Incompleta y perfecta Un juego tiene unformación incompleta cunado cierta información, como las preferencias, los pagos o toda la información necesaria para describir un juego no es de conocimiento público.

Por ejemplo, en algunas situaciones el azar puede tener un rol en el juego; puede existir incertidumbre sobre alguna situación o estado. Por ejemplo, considere el dilema del prisionero donde los jugadores sólo interactúan una vez, pero con una modificación que sólo afecta al caso en que ambos jugadores realizan su acción Callar.

Supongamos que a las consecuencias ya conocidas de dichas acciones, según las cuales a ambos presos se les va a aplicar la pena correspondiente a un delito menor, y que se traduce en un vector de pagos 4, 4 , se añade la posibilidad, real aunque improbable, de que tampoco esté probado el delito menor, en cuyo caso serı́an puestos en libertad por falta de pruebas.

En caso de que ambos jugadores decidan Callar, a continuación tiene lugar una jugada de azar de cuyo resultado dependerán los pagos. Si ambos jugadores se delatan, el vector de pagos es 1, 1.

Si el jugador 1 delata y el jugador 2 calla, el vector de pagos es 5, 0. Si el jugador 1 calla y el jugador 2 delata, el vector de pagos es 0, 5. Jugador 2 Callar Confesar Callar 6, 6 0, 5 Jugador 1 Confesar 5, 0 1, 1 Este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras, Confesar, Confesar y Callar, Callar , y uno en estrategias mixtas.

Ejercicios 6. Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas y Equili- brio de Nash 1. Observe los siguientes juegos y determine si se pueden resolver mediante el proceso de elimina- ción iterativa de estratégicas estrictamente dominadas.

Juego 1 Jugador 2 Izquierda Centro Arriba 9, 9 4, 4 Jugador 1 Abajo 8, 8 5, 5 Respuesta: El jugador 2 nunca escoge derecha, luego derecha es una estratégica estrictamente dominada. Dado que el jugador 2 siempre escogerá izquierda, el jugador 1 prefiere arriba.

Luego abajo es una estrategia estrictamente dominada. Ergo, el equilibrio del juego es arriba, izquierda. El jugador 3 siempre jugará A. Para el jugador 2, A es una estrategia estrictamente dominada. Si el jugador 3 juega A y el jugador 2 juega B, el Jugador 1 prefiere jugar A.

Ergo, A, B, A es un equilibrio. Juego 3 Respuesta: El juego no se puede resolver mediante la eliminación iterativa de estratégicas estrictamente dominadas. El sector pesquero de un paı́s-isla ha entrado recientemente en una grave crisis debido a que se ha pescado en exceso, pese a que las compañı́as pesqueras habı́an firmado un acuerdo para no hacerlo.

Si todas hubiesen cumplido el acuerdo, las capturas podrı́an haber continuado siendo abundantes. Represente esta situaciòn con un dilema del prisionero en el que los jugadores son la Compañı́a A y la compañı́a B y las estrategias son cumplir e incumplir.

Inclya los resultados en la matriz. Explique por qué es inevitable que se pesque excesivamente si no es posible hacer cumplir eficazmente el acuerdo. Un juego como la tragedia de los comunes sugiere que la cooperación entre jugadores puede dar por resultado pagos que los dos jugadores prefieren, en lugar del resultado de Nash.

En este modelo es muy difı́cil presentar un modelo de cooperación, porque la lógica del concepto del equilibrio de Nash sugiere que cualquier otra solución será inestable. Encuentre el equilibrio de Nash en los siguientes juegos a. Considere la siguiente matriz de pagos Jugador 2 L R U 6,2 3,1 Jugador 1 D 1,3 7,7 Respuesta: U,L y D,R son equilibrios de Nash.

Dos individuos deben escoger una carta de un mazo. Las cartas pueden ser 1,2,3,4,J. Si am- bos jugadores sacan la misma carta gana el jugador 1, si sacan cartas distintas gana el que tiene el menor número.

Si ambos jugadores escogen J, entonces es un empate. Los jugadores prefieren ganar que empatar y empatar que perder. Modele el juego y encuentre el equilibrio de Nash. Respuesta: J,J es un equilibri de Nash Jugador 2 1 2 3 4 J 1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2 0,1 1,0 1,0 1,0 1,0 Jugador 1 3 0,1 0,1 1,0 1,0 1,0 4 0,1 0,1 0,1 1,0 1,0 J 0,1 0,1 0,1 0,1 1,1 c.

En la final del Mundial de fútbol dos equipos se encuentran en penales. Si el jugador con- vierte su paı́s gana el campeonato, mientras que si el arquero ataja, el mejor pateador de penales de su equipo, el cuál convierte con probabilidad 1 un lanzamiento penal , patea el siguiente tiro, i.

Ambos jugadores deben escoger un lado, izquierda o derecha, el jugador donde patear y el arquero donde lanzarse. El jugador siempre lanza el penal al arco, nunca afuera.

Cuál cree usted que será el resultado del juego? Suponga que a los jugadores sólo les im- porta ganar; i. si ganan obtienen un pago positivo y si pierden un pago de cero. Modele el juego en su forma normal y encuentre el equilibrio de Nash.

Respuesta: No existe un equilibrio de Nash en estrategias puras. Florencia J1 y Camilo J2 , eligen de manera simultánea entre ir al cine o salir a bailar. Si los dos eligen lo mismo Camilo tiene que pagar a Florencia la entrada. Por tanto, cada uno ha de tomar una decisión sin conocer la tomada por el otro, pero sabiendo que son ambas decisiones, consideradas conjuntamente, las que afectan al bienestar de cada uno de ellos.

En cualquier caso, prefieren salir juntos. Identifique el conjunto de jugadores que participan en el juego. Identifique el conjunto de acciones de J1 y J2. Identifique el conjunto de estrategias de J1 y J2. Identifique los perfiles de estrategias. Respuesta: Hay cuatro perfiles de estrategias que son P, P , P, N , N, P y N, N , cada uno de los cuales lleva a uno de los resultados del juego.

Identifique los pagos que reciben cada jugador por cada perfil de estratégias. Respuesta: Jugador 2 Cine Baile Cine 5, -5 -5, 5 Jugador 1 Baile -5, 5 5, -5 5. Dos jugadores toman sus decisiones de un modo secuencial.

En primer lugar el Jugador 1 elige entre I, C y D. Identifique el conjunto de acciones de cada jugador. Identifique el conjunto de estrategias de cada jugador. El significado de las estrategias de J2, por ejemplo {d,i}, es el siguiente: Jugar d si J1 juega C y jugar i si J1 juega D.

Identifique los perfiles de estrategias y sus pagos asociados. Hay 12 perfiles de estrategias, cada uno de los cuales conduce a un resultado del juego. Represente este juego en su forma extensiva. Respuesta: 6. Va a repartirse un pastel entre dos jugadores, de acuerdo con las siguientes reglas: ambos escriben simultáneamente un número entre 0 y 1, cuyo significado es la parte del pastel que reclaman.

Si la suma de ambos números es igual o menor que 1, cada jugador recibe en pago la parte que ha solicitado. En caso contrario, ninguno de ellos recibe nada. Identifique los pagos asociados a cada estrategia. Respuesta: Por tener cada jugador infinitas acciones posibles, este juego no puede representarse en forma bimatricial.

Dos seres vivos pueden comportarse de un modo violento y agresivo halcón o pacı́fico y sumiso paloma en un enfrentamiento por la posesión de un objeto de valor V. Ambos saben que si los dos se comportan agresivamente se enzarzan en una pelea que les acarrea unos determinados costes C; si ambos se comportan amistosamente se reparten el objeto, pero si cada uno se comporta de un modo diferente, aquel que se comporta pacı́ficamente no obtiene nada y el agresivo se lo queda todo.

Represente este juego en su forma normal. Resuelva este juego mediante el proceso de eliminación de estrategias estrictamente domina- das. Tres amigos, la Isi, Gastón y Pedro, deben escoger qué van a tomar en el carrete de hoy.

Para decidirlo hacen una votación donde cada uno escribe de manera simultánea en un papel el copete que prefiere. Sólo se puede votar por un copete y no se puede votar en blanco. Se comprará el copete que tenga más votos, y en caso de empate o que no exista acuerdo, los amigos caballero- samente dejan que su amiga escoja.

Donde x e y representan cualquier otra estrategia del jugador 1 y el jugador 3. Suponga que Falabella y Paris están pensando lanzar una oferta de mochilas Kaken.

Lo mismo ocurrirı́a para Parı́s si sólo ellos lanzaran la oferta. La oferta sólo resultarı́a si una empresa la lanza.

a Represente este juego en su forma normal. Respuesta: Parı́s Sin oferta Con oferta Sin oferta 4, 4 0, 5 Falabella Con oferta 5, 0 1, 1 b Encuentre el equilibrio de Nash. Respuesta: El Equilibrio de Nash es Con oferta, Con oferta. Nótese es éste es un juego donde el equilibrio de Nash no es Pareto-optimo.

Lo mismo sucede en el Dilema del Prisionero. Considere el siguiente juego. Jugador 2 Izquierda Centro Derecha Arriba 3, 3 4, 2 1, 1 Jugador 1 Medio 2, 4 3, 5 4,0 Bajo 1, 0 2, 1 0, 3 a Enumere el perfil de estrategias para cada jugador.

Considere las siguientes matrices de pagos. Jugador 2 Jugador 2 I M D I M D A 1, 3, 0 -1, 2, 3 -1, 0, -2 A 0, 2, -1 4, 3, 2 1, 2, 0 Jugador 1 Jugador 1 B 2, 1, 1 4, 1, 3 0, 0, 1 B 2, -2, 5 5, 5, 2 4, 6, 4 Jugador 3 juega X Jugador 3 juega Y a Encuentre el equilibrio de Nash. Dos jugadores escriben, simultáneamente, un número entre 0 y 1.

Considere un juego entre dos jugadores donde A y B son las acciones para cada jugador. Deter- mine la matriz de pago para que se cumpla: a El equilibrio de Nash sea Pareto-óptimo.

b El equilibrio de Nash no sea Pareto-óptimo. Equilibrio de Nash Aplicado a los Mercados Trek y Merida son 2 empresas que venden bicicletas. Las bicicletas son bienes homogéneos.

El costo marginal de producir una bicicleta es constante e igual a 4. Determine la cantidad y precio de equilibrio de Cournot. LAN y SKY son dos empresas aéreas que ofrecen viajes a Arica. a Encuentre los valores de equilibrio de Cournot.

Calcule el nuevo equilibrio de Cournot y compare ambas utilidades e indique si la fusión benefició a las firmas que realizaron la operación y a la que no participó.

La empresa no-fuisionada aumentó sus utilidades. Suponga un mercado donde hay 6 firmas que compiten a la Cournot. No hay costos variables pero sı́ hay costos fijos F para cada firma.

Hay 2 empresas que fabrican papel. Cada empresa tiene un costo por unidad de producción igual a 40, y compiten en el mercado por sus volúmenes, y toman esas decisiones al mismo tiempo. Muestre cómo derivar el equilibrio de Cournot en este juego. Cuáles son las utilidades de cada empresa en equilibrio?

Cuál es la producción de monopolio, es decir, aquella que maximiza la utilidad total de la industria? Por qué lo que produce cada firma, si existiera un cartel, es superior a Cournot. Suponga ahora que la empresa 1 tiene ventaja en costos. Su costo unitario es constante e igual a 25, mientras que la empresa 2 tiene un costo unitario de Cuál es la producción de Cournot?

Cuáles son las utilidades de las empresas?. Calcule las cantidades de equilibrio, precio de mercado, y beneficios de las firmas si: a. Las firmas compiten como un oligopolio de Cournot. Las firmas deciden maximizar beneficios mediante una colusión. En el mercado de telefonı́a celular existen tres empresas que compiten entre sı́ en cantidades: T-Mobile, Vodafone y Orange.

Encuentre el equilibrio de Cournot. Calcule los beneficios de cada empresa Suponga que existen dos firmas en el mercado. Determine cuánto producen las firmas cuando compiten en cantidades y cuando forman un cartel tipo Cournot.

Suponga que una de las firmas hace trampa y no coopera en el cartel. Cuál serı́a el nivel de producción que maximiza sus utilidades. Las firma compiten en cantidad. Encuentre el equilibrio de mercado. Suponga que 2 firmas se fusionan. Respuesta: Dado que las firmas son simétricas en costos.

Suponga un mercado donde interactúan 2 firmas. Encuentre el equilibrio del mercado y los beneficios de las firmas. Suponga que en un mercado dos firmas compiten en precios. Calcule el equilibrio inicial sin la innovación para precio, cantidades individuales, cantidad de mercado y utilidades individuales.

Cómo cambia el equilibrio si la innovación es adquirida por la firma 1? Cómo cambia si es adquirida por la firma 2? En cada caso, calcule también el cambio en el excedente social desde el equilibrio en a al nuevo equilibrio.

La firma 2 vende y obtiene utilidades de cero. El excedente social corresponde al bienestar social. La firma 1 no producirı́a nada y obtendrı́a cero utilidades.

La empresa que gane la tecnologı́a será aquella que esté dispuesta a pagar un mayor monto que su rival. En este caso, quién obtendrá la tecnologı́a finalmente? Es eficiente este resul- tado en el sentido que el equilibrio resultando se quien adquiera la tecnologı́a está más o menos cercano a competencia perfecta?

Que la firma 1 gane es el resultado menos eficiente, ya que si hubiese ganado la forma 2, el precio de mercado serı́a más bajo y la cantidad de mercado mayor, o sea, estarı́a más cercano al equilibrio de competencia perfecta que hubiera ganado la firma 2 y no la firma 1. Si dos empresas compiten a la Bertrand con productos diferenciados, una reducción de los costos marginales de la firma 1 reduce el precio de la firma 2 y aumenta el precio de la firma 1.

Si baja P1 , entonces P2 baja. Por tanto el comente el falso, ya que una disminución en C1 disminuye P2 , pero no aumenta P1. En el mercado existen 2 empresas y éstas compiten en precios. a Determine el beneficio de cada firma en el mercado. Respuesta: Paradoja de Bertrand.

Suponga n firmas con costos marginales idénticos y constantes. Las firmas maximizan sus beneficios escogiendo precios de forma simultánea. La firma con el menor precio se lleva todo el mercado. Describa la demanda de la firma i. Suponga que existen n firmas las cuales tiene acceso a diferentes tipos de tecnologı́as de produc- ción, y por tanto, tienen costos marginales distintos, de forma que es posible ordenar las firmas de un mercado desde la más eficiente a la menos eficiente; i.

Suponga que las firmas escogen precios de forma simultánea. Encuentre el equilibrio de Nash de este juego. Suponga que existen 2 firmas que venden dos productos diferenciados. Las firmas se posicionan en los extremos de una recta de intervalo [0, 1].

Los consumidores se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1]. Los consumidores obtienen desutilidades de viajar a lo largo del intervalo [0, 1] para obtener el producto.

Asuma que esta distancia es lineal. Plantee el problema de maximización de beneficios de la firma i. Derive la función de utilidad del consumidor. La tragedia de los recursos comunes.

En una pradera existen dos campesinos. El beneficio que se obtiene depende del número total de ovejas que hay en la pradera ya que el pastizal que hay en la pradera y que es de acceso común, constituye la principal fuente de alimentación y, por lo tanto, determina la cantidad final del producto.

Los granjeros deciden simultáneamente, y de modo no cooperativo, cuantas ovejas mantener. Asuma que las ovejas son perfectamente divisibles. Escriba la forma normal de este juego.

Respuesta: Para que un juego pueda ser descrito en su forma norma es necesario identificar los jugado- res, las estrategias y los pagos.

Encuentre el óptimo social en que un planificador decide la cantidad de ovejas total para ma- ximizar el excedente. Puede pensar en el planificador como un dueño exclusivo del terreno y de las ovejas. Encuentre el equilibrio de Nash del juego y compárelo con el óptimo social.

Dé una intuición económica breve para explicar a qué se deben las diferencias. Para el caso del campesino dos, la función de reacción es análoga. El equilibrio se obtiene al interceptar las funciones de reacción de los dos campesinos. Esto se debe a que el pasto es un recurso común, y por lo tanto, los agentes lo utilizan en una medida mayor a la que lo deberı́an usar si internalizaran los costos.

Qué sucede con los beneficios individuales y los beneficios sociales cuando el número de cam- pesinos aumenta? Respuesta: A medida que el número de jugadores de involucrados en un juego de recursos comunes aumenta, mayor es la explotación del recurso común y, por tanto, los beneficios privados disminuyen a tal punto que, cuando el numero de jugadores tiende a infinito, los beneficios privados son cero.

Esto se debe a la condición de rivalidad de los recursos comunes. Lo mismo ocurre con el beneficio social. Es decir, mientras más ovejas vayan a pastar, menos pasto quedará para las demás, incluso, para las propias, por lo que el beneficio tiende a cero.

El éxito del sindica- to para presionar por aumentos salariales depende del número de miembros. El sindicato representa a todos trabajadores, por lo tanto, los beneficios salariales que se consigan serán percibidos tanto por los trabajadores sindicalizados como por los que no.

Ambos trabaja- dores deben decidir si unirse U o no unirse NU al sindicato. Calcule el nivel de utilidad de cada trabajador en cada uno de los tres casos y construya una matriz donde se reflejen los niveles de utilidad de cada trabajador asociado a la opción U y NU.

Lo interesante es que en este caso uno de los trabajadores decide unirse al sindicato por lo que se logran nuevas alzas salariales, en particular en este caso, el salario sube a En este último caso, ambos se deciden unir por lo que el sindicato es aún más fuerte para presionar por presiones salariales por lo que el salario alcanza a ser Encuentre el equilibrio de Nash de la matriz de juego construida en la pregunta anterior.

Comente sobre el los equilibrio s encontrado s. Respuesta: El juego anterior tiene dos equilibrios de Nash U,NU y NU,U. El equilibrio del juego está en que un trabajador siempre decidirá unirse al sindicato, mientras que el otro no.

La idea es clara, ser miembro del sindicato tiene costos el costo de pagar la cuota y al mismo tiempo los logros que se consigan de la negociación serán percibidos por todos los trabajadores de la empresa. De ahı́ que el incentivo sea que solo uno de los trabajadores entre al sindicato ası́ el otro se verı́a beneficiado del alza salarial y al mismo tiempo evita pagar el costo de ser parte del sindicato.

Lo interesante es que los equilibrios siempre son de este tipo, no es sostenible que ambos entren debido a que el incentivo a moverse es demasiado alto.

Si uno de los trabajadores decide entrar entonces el otro no tendrá ninguna motivación a hacerlo. En este tipo de ejemplos, la conducta del jugador que no entra se conoce como Free-Rider, ya que, sin hacer nada, se ve beneficiado con la negociación y no enfrenta costo alguno.

Finalmente, comente sobre el resultado del juego si es que la negociación sindical beneficiara únicamente a los trabajadores que son miembros del sindicato. De hecho, esta medida podrı́a ser tomada por los propios miembros del sindicato de manera de evitar equilibrios como el encontrado en la pregunta anterior.

Coca-cola ha anunciado que está desarrollando una máquina de venta inteligente. Esta maquina es capaz de cambiar el precio según la temperatura ambiente, la cual puede ser lata o baja. En el mes, la cantidad de dı́as de temperatura alta es igual a la cantidad de dı́as de temperatura baja.

Suponga que Coca-Cola instala una máquina inteligente. Alternativamente, suponga que Coca-Cola usa una máquina normal con un precio fijo. Subastas Suponga que la casa de sus sueños está siendo rematada ya que si antiguo dueño no pagó la hipoteca. Sea p el precio final que usted paga por la casa.

Y bi es la oferta que usted hace para quedarse con la casa. Suponga que hay n participantes en el remate y que ninguno de los jugadores tiene la misma valoración sobre la casa. La casa de adjudica a quien tenga la mayor oferta y se paga es segundo precio más alto.

Encuentre un posible equilibrio para este juego. Si el jugador 1 cambia su oferta a otro precio, al menos, igual a b2 , entonces el resultado del juego es el mismo.

Una linea aérea pierde dos maletas pertenecientes a diferentes viajeros. Ambas maletas son idénti- cas y tiene el mismo contenido de difı́cil valoración por ejemplo antiguedades.

Además explica que si ambos escriben el mismo número el tomará éste como la verdadera valoración y les reembolsara esa cantidad a cada uno. c al que declare la mayor valoración. Usted el viajero 1.

Respuesta: El equilibrio de Nash es un par de números donde ninguno de los dos viajeros tiene incentivos a desviarse. Imagine que se está subastando el último disco de Justin Bieber y sólo asiste usted y otra per- sona más.

En caso de que ambos hagan la misma oferta, se sortea el ganador lanzando una moneda. La valoración que tiene cada postor por el bien vi es información privada, es decir, es una subasta a sobre cerrado.

Además, denotamos pi el precio que paga el individuo cuando gana la subasta.

Por su parte una jugada posicional se considerará mucho más estratégica que táctica, aunque a la larga ambos elementos sean bicondicionales ¿Cuándo es correcto rendirse? En resumen, sopesad bien vuestras posibilidades, meditad vuestras decisiones y haced la jugada más ventajosa De manera verbal: indicándole al crupier que quieres rendirte. · De manera gestual: en algunos casinos, se permite indicar que te rindes, de

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